Материал: Частина 2

яких хоч би одна з похідних (t) або (t) рівна нулю або не існує. Такі значення параметра t називаються критичними.

Для кожного інтервалу (t1, t2) (t2, t3) ., (tk-1, tk) знаходимо відповідний інтервал (x1, x2) (x2, x3) ., (xk-1, xk) і визначуваний знак похідної dydx на кожному з отриманих

інтервалів, тим самим визначаючи проміжки зростання і убування функції.

Далі знаходимо другу похідну функції на кожному з інтервалів і, визначаючи її знак, знаходимо напрям опуклості кривої в кожній крапці.

Для знаходження асимптот знаходимо такі значення t, при наближенні до яких або х або у прагне до нескінченності, і такі значення t, при наближенні до яких і х і у прагне до нескінченності.

У останньому дослідження проводиться аналогічним також, як і дослідження функції, заданої безпосередньо.

На практиці дослідження параметрично заданих функцій здійснюється, наприклад, при знаходженні траєкторії рухомого об'єкту, де роль параметра t виконує час.

Нижче розглянемо докладніше деякі широко відомі типи параметрично заданих кривих.

Рівняння деяких типів кривих в параметричній формі.

Коло.

Якщо центр кола знаходиться на початку координат, то координати будь-який її крапки можуть бути знайдені по формулах:

Якщо виключити параметр t, то отримаємо канонічне рівняння кола:

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t)= r2

Еліпс.

Для довільної точки еліпса М(х, у) з геометричних міркувань можна записати:

де 0 ≤ t ≤ 2

Кут t називається ексцентричним кутом.

Циклоїда.

у

Визначення. Циклоїдою називається крива, яку описує деяка крапка, лежача на колі, коли коло без ковзання котиться по прямій.

Хай коло радіусу а переміщається без ковзання уздовж осі х. Тоді з геометричних міркувань можна записати: OB = МВ = at; PB = MK = asint;

MCB = t; Тоді у = MP = KB = CB – CK = а – acost = а(1 – cost). x = at – asint = а(t – sint).

Якщо виключити параметр, то отримуємо:

Як видно, параметричне рівняння циклоїди набагато зручніше у використанні, чим рівняння, що безпосередньо виражає одну координату через іншу.

37

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Астроїда.

Дана крива є траєкторією точки кола радіусу R/4, що обертається без ковзання по внутрішній стороні кола радіусу R.

R/4

R

Параметричні рівняння, задаючі зображену вище криву

Перетворюючи, отримаємо: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t)= a2/3

Похідна функції, заданої параметрично.

Хай

Припустимо, що ці функції мають похідні і функція x = (t) ϕмає зворотну функцію t =

Ф(х).

Тоді функція у = (t) може бути розглянута як складна функція у = ψ[Ф(х)].

оскільки Ф(х) – зворотна функція, то Остаточно отримуємо:

Таким чином, можна знаходити похідну функції, не знаходячи безпосередньої залежності у від х.

Приклад. Знайти похідну функції

Спосіб 1: Виразимо одну змінну через іншу, тоді

x = a cost

Спосіб 2: Застосуємо параметричне завдання даній кривій: .

y = bsin t

dydx = −bacossintt = − atgtb x2 = a2cos2t;

38

Визначення: Кут α повороту дотичної до кривій при переході від крапки А до крапки В називається кутом суміжності.

Відповідно, більш зігнута та крива, у якої при однаковій довжині більше кут суміжності.

Визначення: Середньою кривизною Кср дуги AB називається відношення

відповідного кута суміжності α до довжини дуги AB .

Kср = α

AB

Відзначимо, що для однієї кривої середня кривизна її різних частин може бути різною, тобто дана величина характеризує не криву цілком, а деякий її ділянка.

Визначення: Кривизною дуги в крапці НО називається межа середньої

кривизни при прагненні довжини дуги AB 0.

Легко бачити, що якщо позначити AB = S, то за умови, що кут α - функція, яка залежить від S і дифференцируема, то

39

“Курс вищої математики. Частина 2.”

у

B

Розглянемо криву, задану рівнянням: у = f(x).

A

C(а, b)

40