Материал: Частина 2

20

15

10

5

-10

-5

5

10

-5

-10

-15

-20

функції є область (-∞; -1) (-1; 1) (1; ).

У свою чергу, видно, що прямі

х = 1, х = -1 є вертикальними асимптотами

кривої.

Областю значень даної функції є інтервал (-∞; ∞).

Точками розриву функції є точки х = 1, х = -1.

Знаходимо критичні крапки.

Знайдемо похідну функції

y

′

3x2

(x2 −1) − 2x x3

3x4 −3x2 − 2x4

x4 −3x2

=

(x

2 −1)2

=

(x2 −1)2

= (x2 −1)2

Критичні крапки: x = 0; x = -

3 ; x = 3 ;

x = -1; x = 1.

Знайдемо другу похідну функції

y′′ =

(4x3

−6x)(x2 −1)2 −(x4 −3x2 )4x(x2 −1)

=

(x2 −1)4

=

(4x3

−6x)(x4 − 2x2

+1) −(x4 −3x2 )(4x3 − 4x)

=

(x2 −1)4

“Курс вищої математики. Частина 2.”

=

4x7 −8x

5 + 4x3 −6x5 +12x3 −6x − 4x7 + 4x5 +12x5 −12x3

=

(x2 −1)4

=

2x5

+ 4x3 −6x

=

2x(x4 + 2x2 −3)

=

2x(x2 +3)(x2 −1)

=

2x(x2

+3)

.

(x2 −1)4

(x2 −1)4

(x2 −1)4

(x2 −1)3

Визначимо опуклість і угнутість кривої на проміжках.

-∞ < x < -, у′′ < 0, крива опукла

- 3 < x < -1,

у′′ < 0,

крива опукла

-1 < x < 0,

у′′ > 0, крива увігнута

0 < x < 1,

у′′ < 0, крива опукла

1 < x < 3 ,

у′′ > 0, крива увігнута

3 < x <∞,

у′′ > 0, крива увігнута

Знаходимо проміжки зростання і убування функції. Для цього визначаємо знаки

похідної функції на проміжках.

-∞ < x < -, у′ > 0, функція зростає

- 3 < x < -1,

у′ < 0,

функція убуває

-1 < x < 0,

у′ < 0, функція убуває

0 < x < 1,

у′ < 0, функція убуває

1 < x < 3 ,

у′ < 0, функція убуває

3 < x <∞,

у′′ > 0, функція зростає

k = lim

x2

= lim

1

=1;

−1

1

x→∞ x2

x→∞

1

−

x2

x

3

3

− x

3

+ x

x

1

x

x

2

2

2

= lim

= 0

b = lim

−1

− x

= lim

x

−

1

= lim

−1

1

x→∞ x

x→∞

x→∞ x

x→∞

1

−

x2

Разом, рівняння похилої асимптоти –

у = x.

4

3

2

1

-2

-1

1

2

-1

-2

-3

-4

Векторна функція скалярного аргументу.

r

r(t) − r0

limϕ(t) =ϕ0 ;

limψ(t) =ψ0 ;

lim f (t) = f0 ;

t→t0

t→t0

t→t0

rr(t)

dr

∆r (t)

dt

r (t + ∆t)

∆r = r (t + ∆t) − rr(t) ;

rr(t + ∆t) = ϕ(t + ∆t)i +ψ(t + ∆t) j + f (t + ∆t)k ;

∆rr = (ϕ(t + ∆t) −ϕ(t))i + (ψ(t + ∆t) −ψ

r

(t)) j + ( f (t + ∆t) − f (t))k

∆r

ϕ(t + ∆t) −

ϕ(t) r

ψ(t + ∆t) −ψ

(t)

r

f (t + ∆t)

− f (t) r

=

i

+

j

+

k

∆t

∆t

∆t

∆t

або, якщо існують похідні (t), (t), f(t), то

lim

∆rr

=

′

r

′

r

′

r

r′

∆t

ϕ (t)i

+ψ (t) j + f

(t)k

= r

∆t→0

Це вираз – вектор похідна вектора r .

r

dr

dx r

dy

r

dz

=

i +

j +

k

dt

dt

dt

dt

drr

′

2

′

2

′

2

dt

=

+

+

[ϕ (t)]

[ψ (t)]

[f (t)]

Якщо є рівняння кривої:

ϕу = (t);

ψz = f(t);

x = (t);

то в довільній точці кривої А(xА, yА, zА) з радиусвектором

r = xir + yrj + zkr = ϕ(t)ir + ψ(t) rj + f (t)kr

можна провести пряму з рівнянням

Оскільки похідна - вектор, направлений по дотичній до кривій, то

x − xA

=

y − yA

=

z − zA

.

dxA

dyA

dzA

dt

dt

dt

1)

d

(rr

+ rr

− rr ) =

drr1

+

drr2

−

drr3

dt

dt

1

2

3

dt

dt

2)

d (λr )

= λ

dr

, де λ = (t) λ– скалярна функція

dt

dt

3)

d(rr1 rr2 )

=

drr1

rr

+ rr

drr2

dt

dt

dt

2

1

4)

d(rr1 ×rr2 )

=

drr1

×rr + rr

×

drr2

dt

dt

2

1

dt

dxA

(x − xA ) +

dyA

( y − yA ) +

dzA

(z − zA ) = 0

dt

dt

dt

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормальної площини до лінії, заданої

рівнянням rr = i cos t + j sin t +

3tk в точці t = π/2.

x(t)= -sint;

у(t)= cost;

x′(π/2)= -1;

у′(π/2)= 0;

z′(π/2)=

x(π/2)= 0;

у(π/2)= 1;

z′(π/2)= 3 π/2

x

y −1

z −

π

3

=

=

2

−1

0

3

−1 (x − 0) + 0 + 3(z −

π 3 ) = 0

2