Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Зміст:

Диференціальне числення функцій однією змінною._ Похідна функції, її геометричний і фізичний сенс. Рівняння дотичної і нормалі до кривій. Односторонні похідні функції в крапці.

Основні правила диференціювання. Похідні основних функцій. Похідна складної функції. Логарифмічне диференціювання.

Похідна показово – статечній функції. Похідна зворотної функції. Диференціал функції. Геометричний сенс диференціала. Властивості диференціала.

Диференціал складної функції. Інваріантна форма запису. Формула Тейлора.

Формула Лагранжа. Формула Маклорена.

Представлення функцій по формулі Тейлора. Біном Ньютона.

Застосування диференціала до наближених обчислень. Теореми про середній.

Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коші.

Розкриття неопределенностей. Правило Лопіталя. Похідна і диференціали вищих порядків. Правила знаходження похідних.

Дослідження функцій. Зростання і убування функцій. Точки екстремуму.

Критичні крапки.

Достатні умови екстремуму.

Дослідження функцій за допомогою похідних вищих порядків. Опуклість і угнутість кривої.

Точки перегину. Асимптоти.

Схема дослідження функцій.

Векторна функція скалярного аргументу. Рівняння дотичної до кривій.

Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу. Рівняння нормальної площини.

Параметричне завдання функції. Коло.

Еліпс. Циклоїда. Астроїда.

Похідна функції, заданої параметрично. Кривизна плоскої кривої.

106

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Кут суміжності. Середня кривизна. Кривизна дуги в крапці. Радіус кривизни. Центр і круг кривизни. Еволюта і евольвента. Властивості еволюти.

Кривизна просторової кривої. Годограф.

Головна нормаль. Вектор і радіус кривизни. Формули Френе. Дотична площина. Бінормаль.

Кручення кривої. Інтегральне числення. Первісна функція. Невизначений інтеграл.

Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів. Безпосередня інтеграція.

Спосіб підстановки. Інтеграція по частинах. Інтеграція елементарних дробів. Рекурентна формула.

Інтеграція раціональних функцій. Інтеграція раціональних дробів. Метод невизначених коефіцієнтів. Метод довільних значень.

Інтеграція тригонометричних функцій. Універсальна тригонометрична підстановка. Інтеграція ірраціональних функцій. Біномінальні диференціали. Тригонометрична підстановка. Підстановки Ейлера.

Метод невизначених коефіцієнтів.

Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Еліптичні інтеграли.

Інтеграл Пуассона. Інтеграл Френеля. Інтегральний логарифм.

Інтегральний синус і косинус. Певний інтеграл. Інтегральна сума. Інтегрована функція.

Властивості певного інтеграла. Теорема про середній. Узагальнена теорема про середній. Обчислення певного інтеграла. Теорема Ньютона – Лейбніца. Заміна змінних в певному інтегралі. Інтеграція по частинах.

107

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Наближене обчислення певного інтеграла. Формула прямокутників.

Формула трапецій. Формула парабол (Сімпсона). Невласні інтеграли.

Абсолютна збіжність інтеграла. Інтеграл від розривної функції. Знаходження площ плоских фігур.

Знаходження площі криволінійного сектора._ Обчислення довжини дуги кривої.

Обчислення об'ємів тіл по поперечних перетинах. Обчислення об'ємів тіл обертання.

Площа поверхні тіла обертання. Функції декілька змінних. Межа.

Безперервність.

Найбільше і найменше значення. Приватний приріст.

Приватна похідна.

Геометричний сенс приватних похідних. Повний приріст і повний диференціал. Дотична площина і нормаль до поверхні.

Наближені обчислення за допомогою повного диференціала. Приватні похідні і диференціали вищих порядків. Екстремум функції декілька змінних.

Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму. Умовний екстремум.

Функція Лагранжа. Похідна по напряму. Направляючі косинуси. Градієнт.

Зв'язок градієнта з похідній по напряму. Кратні інтеграли.

Подвійні інтеграли.

Умови існування подвійного інтеграла. Властивості подвійного інтеграла. Обчислення подвійного інтеграла. Заміна змінних в подвійному інтегралі. Якобіан.

Подвійний інтеграл в полярних координатах. Потрійний інтеграл.

Заміна змінних в потрійному інтегралі. Циліндрова система координат. Сферична система координат.

Геометричні і фізичні додатки кратних інтегралів.

108