Документ: Частина 2, страницы 56-60 | Студенческое хранилище

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема: Якщо R(x) = QP((xx)) - правильний раціональний дріб, знаменник P(x)

якою представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників (відзначимо,

що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x)= (x - а)α.(x - b)β(x2 + px + q)λ.(x2 + rx + s)µµ ), то цей дріб може бути

розкладена на елементарних по наступній схемі:

Q(x)

=

A

+

A

+... +

A

+... +

B

+

B

2

+... +

Bβ

+

M

1

x + N

1

+

1

2

α

1

P(x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

(x −b)

(x

−b)2

(x −b)β

x2

+ px + q

+

M

2

x + N

2

+... +

M

λ

x + N

λ

+... +

R x + S

1

+

R

2

x + S

2

+... +

Rµ x + Sµ

1

(x2

+ px + q)2

(x2 + px + q)λ

x2

+ rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)µ

де Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтеграції раціональних дробів удаються до розкладання початкового дробу на елементарних. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлени були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

∫

9x3 −30x2 + 28x −88

dx

(x2 −6x +8)(x2 + 4)

Оскільки ( x2 − 6x +8)(x2

+ 4) = (x − 2)(x − 4)(x2 + 4) , то

9x3 −30x2 + 28x −88

=

A

+

B

+

Cx + D

(x − 2)(x − 4)(x2 + 4)

x

−

2

x − 4

x2 + 4

Приводячи до спільного знаменника і прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 − 6x +8) = 9x3 −30x2 + 28x −88

(A + B + C)x3 + (−4A − 2B − 6C + D)x2 + (4A + 4B +8C − 6D)x + (−16A −8B +8D) = = 9x3 −30x2 + 28x −88.

A + B + C = 9		C = 9 − A − B
			+ 4A + 2B + 54 − 6A − 6B
− 4A − 2B − 6C + D = −30		D = −30
	− 6D = 28		+ 4C −3D =14
4A + 4B +8C		2A + 2B

−16A −8B +8D = −88		2A + B − D =11

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

2A + 2B + 36 − 4A − 4B − 72 + 6A +12B =14

2A + B − 24 + 2A + 4B =11

C = 9 − A − BD = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

4A + 5B = 35

56

“Курс вищої математики. Частина 2.”

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 5050 −10B + 5B = 35

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

B = 3

A = 5

B = 3C =1

D = 2

Разом:

x

+ 2

x

∫

5

dx + ∫

3

dx +

∫

dx = 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

+ ∫

dx + ∫

2

dx =

x

− 2

x −

4

2

+ 4

x

2

x

2

x

+ 4

= 5ln

x − 2

+ 3ln

x − 4

+

1

ln(x2

+ 4) + arctg

+ C.

2

Приклад.

6x5 −8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

dx

∫

3x3 − 4x2 −17x + 6

Оскільки дріб неправильний, то заздалегідь слід виділити у неї цілу частина:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2

– 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 − 25x − 25

20x2 – 25x – 25

4x2 −5x −5

2

3

2x

+3 +

dx

=

2x

dx +

3dx + 5

dx =

x

+3x

+

∫

3x3 − 4x2 −17x + 6

∫

∫3x3 − 4x2 −17x +

6

3

+ 5∫

4x2 −

5x −5

dx

3x

3

− 4x

2

−17x + 6

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник

дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x3 – 4x2

– 17x + 6

x - 3

3x3

– 9x2

3x2 + 5x -

2

5x2 –

17x

5x2 –

15x

- 2x

+ 6

-2x

+ 6

0

Таким чином 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

4x2 −5x −5	=	A	+	B	+	C
(x −3)(x + 2)(3x −1)		x −3		x + 2		3x −1

A(x + 2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) + C(x −3)(x + 2) = 4x2 −5x −5

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угрупування і вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися достатньо великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення

57

“Курс вищої математики. Частина 2.”

обчислень прийнято як довільні значення приймати крапки, при яких знаменник дробу рівний нулю, тобто в нашому випадку – 3 -2, 1/3. Отримуємо:

40A =16

A = 2 / 5

35B = 21

B = 3 / 5

C =1

Остаточно отримуємо:

∫

6x5

−8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

dx =

2

x

3

+ 3x + 3∫

dx

+ 2∫

dx

+ 5∫

dx

=

3x

3

−

4x

2

−17x + 6

3

x +

2

x −

3

3x −1

=

2

x3 + 3x + 3ln

x + 2

+ 2ln

x −3

+

5

ln

3x −1

+ C.

3

Приклад.

∫

3x4

+14x2

+ 7x +15

dx = ∫

A

dx + ∫

Bx + C

dx + ∫

Dx + E

dx

(x + 3)(x

2

+ 2)

2

x +

3

(x

2

+

2)

2

x

2

+ 2

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

A(x2

+ 2)2 + (Bx + C)(x +3) + (Dx + E)(x + 3)(x2

+ 2) = 3x4

+14x2

+ 7x +15

Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx2 + 3Bx + Cx + 3C + Dx4 + 2Dx2 + 3Dx3 + 6Dx + Ex3 + 2Ex + 3Ex2 + 6E =

= (D + A)x4 + (3D + E)x3 + (A + B + 2D + 3E + 4A)x2 + (3B +C + 6D + 2E)x + (2A + 3C + 6E + 4A)

D + A = 3		D = 3 − A
			+ 3A
3D + E = 0		E = −9	+ 3A
	=14
B + 2D + 3E + 4A	=14	B + 6 − 2A − 27 + 9A + 4A =14
3B + C + 6D + 2E	= 7	3B + C	+18 − 6A −18 + 6A = 7

3C + 6E + 4A =15		3C −54 +18A + 4A =15

D = 3 − A

A = 3

= −9 + 3A

E = −9 + 3A

E

B = 2

B +11A = 35

11A = 35 − B

C =1

3B

+C = 7

C

= 7

−3B

D = 0

+ 22A

= 69

3C

21 −9B + 70 − 2B = 69

E = 0

Тоді значення заданого інтеграла:

3∫

dx

+ ∫

2x +1

dx

= 3∫

dx

+ 2∫

x

dx + ∫

dx

= 3ln x +3 −

1

+

x

+

3

(x

2

+ 2)

2

x +

3

(x

2

+ 2)

2

(x

2

+

2)

2

x

2

+ 2

+

x

+

4

1 arctg

x

+C.

4(x2 + 2)

2

58

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграція деяких тригонометричних функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченне багато. Більшість з цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть проінтегрувати завжди.

Інтеграл вигляду ∫R(sin x,cos x)dx .

Тут R – позначення деякої раціональної функції від змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього вигляду обчислюються за допомогою підстановки t = tg 2x . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

2tg

x

2t

1

−tg

2

x

1 −t 2

sin x =

2

=

,

cos x =

2

=

;

1 + tg

2 x

1

+ t 2

1

+ tg

2

1 + t 2

x

2

Тоді Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною

підстановкою.

Приклад.

dx

2dt

dt

∫

= ∫

1 + t 2

= 2∫

=

4sin x + 3cos x + 5

4

2t

+ 3

1 −t

2

+

5

8t + 3 −3t

2

+5 + 5t

2

2t

2

+8t +8

dt

1+ t 2

1

+t

2

1

= ∫

= −

+ C

= −

+ C.

t

2

+ 4t + 4

(t

+ 2)

2

t

+

2

tg

x

+ 2

2

Безперечною гідністю цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти достатньо складна раціональна функція, інтеграція якої займе багато часу і сил.

Проте при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінною цей метод є

єдино результативним.

Приклад.

∫

dx

= ∫

2dt

= 2∫

dt

= 2∫

dt

=

9 +8cos x + sin x

(1 + t 2 ) 9 +

8(1 −t

2

)

+

2t

t

2

+ 2t

+17

(t +1)

2

+16

2

1 + t

1

t +1

1

tg

x

+1

=

arctg

+ C

=

arctg

2

+ C.

2

4

59

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграл вигляду ∫R(sin x, cos x)dx якщо функція R є непарною відносно cosx.

Не дивлячись на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, рациональнее застосувати підстановку t = sinx.

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R(sin x, cos x) cos xdx cos x

Функція

R(sin x, cos x)

може містити cosx тільки в парних ступенях, а отже, може бути

cos x

перетворена в раціональну функцію відносно sinx.

∫R(sin x, cos x)dx = ∫r(sin x) cos xdx = ∫r(t)dt.

Приклад.

cos7

xdx

= t

(1 −t 2 )3

1 −3t 2 + 3t 4

−t 6

dt

sin x

∫

= dt = cos xdx

= ∫

dt

= ∫

dt = ∫

−3∫

+

sin

4

x

t

4

t

4

t

4

t

2

x =1

−sin

2

cos

x

+ 3∫dt − ∫t 2 dt = −

1

+

3 + 3t − 1 t 3

= −

1

+

3

+3sin x

− sin3 x

+ C.

3

3sin

3

x

sin x

3t

t

3

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію може бути будь-якій, як цілою, так і дробом.

Інтеграл вигляду ∫R(sin x, cos x)dx якщо функція R є непарною відносно sinx.

По аналогії з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

Тоді

Приклад.

sin

3

x

cos x = t

1 −t

2

t

2

+ 4t + 4 − 4t

−5

(t + 2)

2

− 4t −5

dx =

= −

dt =

∫

2 + cos x

∫ 2 + t

∫

t + 2

∫

dt

= −sin xdx

t + 2

4t

5

tdt

dt

t 2

t

= ∫

t + 2 −

−

dt = ∫tdt + ∫2dt − 4∫

−5∫

=

+ 2t −5ln

t + 2

− 4∫

dt

=

t +

2

t

+ 2

t +

2

t + 2

2

t + 2

t

A

=

+ B

t

+ 2

t +

2

A + Bt + 2 = t

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

dt

dt =

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

− 4t =

=

+8

− 4

+8ln

∫t

∫

B =1,

A = −2

2

+ 2

2

t

=

− 2

+1

+ 2

t +

2

t

=

t 2

− 2t +

3ln

t + 2

+ C =

cos2

x

− 2 cos x

+ 3ln(cos x + 2) + C.

2

60

Материал: Частина 2

Смотрите также: