Документ: Частина 2, страницы 61-65 | Студенческое хранилище

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Інтеграл вигляду функція R парна відносно sinx і cosx.

Для перетворення функції R в раціональну використовується підстановка

t = tgx.

Тоді

Приклад.

dx

1

tgx = t;

cos2 x

dx

=

1

∫sin 2 x + 6sin x cos x −16cos2 x

∫tg 2 x + 6tgx −16

dx

= d(tgx) = dt

2

x

cos

= ∫

dt

=∫

dt

=

1

ln

tgx + 3 −5

+ C =

1

ln

tgx − 2

+C.

t

2

+ 6t

−16

(t + 3)

2

− 25

10

tgx + 3 +

5

10

tgx +8

Інтеграл твору синусів і косинусів різних аргументів.

Залежно від типу твори застосуються одна з трьох формул:

∫cos mx cos nxdx = ∫								1		[cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =										1 sin(m + n)x								+			sin(m − n)x

								2																		m + n										m − n
								2												2						m + n										m − n
∫sin mx cos nxdx = ∫								1		[sin(m + n)x + sin(m − n)x]dx =									1					cos(m + n)x									cos(m − n)x
																					−								−
								2											2		−					m + n			−								m − n
								2											2							m + n											m − n
∫sin mx sin nxdx = ∫							1		[−cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =													1				sin(m + n)								sin(m − n)
																							−							+
							2														2		−				m + n			+							m − n
							2														2						m + n										m − n
			Приклад.
∫sin 7x sin 2xdx =					1			∫cos5xdx −					1	∫cos9xdx =			1	sin 5x −					1		sin 9x + C.
∫sin 7x sin 2xdx =					2			∫cos5xdx −					2	∫cos9xdx =		10		sin 5x −					18		sin 9x + C.
					2								2			10							18
			Приклад.
∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x[cos 7x cos 4x]dx =																			1		∫sin10x cos11xdx +																1	∫sin10x cos3xdx =
∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x[cos 7x cos 4x]dx =																			2		∫sin10x cos11xdx +															2		∫sin10x cos3xdx =
	1			1							1				1				2						1							1				2			1
=	1	∫sin 21xdx −		1		∫sin xdx +					1	∫sin13xdx +			1	∫sin 7xdx = −									1		cos 21x −					1			cos x −				1	cos13x −
=	4	∫sin 21xdx −				∫sin xdx +						∫sin13xdx +				∫sin 7xdx = −									84		cos 21x −					4			cos x −				52	cos13x −
	4		4							4			4												84							4							52
−	1		cos 7x +C.
−	28		cos 7x +C.
	28

Іноді при інтеграції тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули для пониження порядку функцій.

Приклад.

61

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

dx

= ∫

4dx

dctg2x

− 2

=

= −2ctg2x + C

sin

2

x cos

2

x

sin

2

2x

dx

sin

2

x

Приклад.

4

1

2

1

2

1

2

∫sin

xdx

= ∫

−

cos 2x

dx =

∫

(1 −cos 2x)

dx =

∫(1 −

2 cos 2x + cos

2

4

=

1

∫dx −

1

∫cos 2xdx +

1

∫cos2 2xdx =

x

−

1

sin 2x +

1

∫

1

(1 + cos 4x)dx =

x

4

2

4

2

+

1

[

dx +

∫

cos 4xdx]=

x

−

sin 2x

+

x

+

sin 4x

=

1 3x

−sin 2x +

sin 4x

+C.

8

∫

4

8

32

8

4 2

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

2x)dx =

− sin42x +

Приклад.

1

u

u = ln x;

du =

dx;

dq

= e du;

∫cos(ln x)dx =

x

= ∫eu

cosudu =

u

= eu cosu +

u

q = e

;

dx = e

dp = −sin udu;

;

x = e

du;

= e

u

+ ∫eu

p = sin u; dq

du;

sin udu =

u

= eu cosu + eu sin u − ∫eu cosudu;

dp = cosudu;

q = e ;

Разом

∫eu cosudu = eu

(cosu + sin u) + C

2

∫x cos(ln x)

1 dx = x(cos(ln x) + sin(ln x)) + C

x

2

∫cos(ln x)dx =

x

π

+ C;

2

cos

4

− ln x

Інтеграція деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтеграції різних типів ірраціональних функцій.

Інтеграл вигляду де n- натуральне число.

62


За допомогою підстановки					n ax + b		= t
					cx + d
	ax + b	= t	n	;	x =	t n −b		;
	cx + d	= t		;	x =	a − ct n		;
	cx + d					a − ct n

Тоді

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

функція раціоналізувалася.

	t	n	−b		′
						dt;

dx =		− ct		n
a

dx

− 2dx

− dx

−

2t

3

dt

t

2

dt

∫

− 2x

= t;

dt =

=

= ∫

= −2∫

=

= 4 1

;

1

− 2x −

4

1

− 2x

4

3

2t

3

t

2

−t

t −1

1− 2x )

4(

t

dt = −t

2

− 2∫

+

1

2

− 2t − 2 ln t −1 + C =

= −2∫ t +

t

−1

dt = −2∫tdt − 2∫

t −1

1

t −1

dt = −t

= − 1 − 2x − 24 1 − 2x − 2ln 4 1 − 2x −1 + C.

Якщо до складу ірраціональної функції входить коріння різних ступенів, то як нова змінна раціонально узяти корінь ступеня, рівного найменшому загальному кратному ступенів коріння, що входить у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

3

x −1 +

4

x −1

12

x −1 = t; x

−1 = t

12

(t

4

+ t

3

)12t

11

dt

t

3

+ t

2

;

=

=12

dt =

∫(x −1)(1 + 6 x −1)

dx =

=12t11dt;

∫

t12 (1+ t 2 )

∫ t 2 +1

dx

∫

t

3

∫

t

2

∫

t

∫

1

∫

tdt

∫

2

dt

+

2

t

−

dt +

1

−

tdt −12

2

+12

dt −

=12

t +1

dt

=12

t +

dt =12

t

+1

t +1

1

−12∫

1

dt

2

= 6t 2 +12t −6ln(t 2 +1) −12arctgt + C = 66

x −1 +1212 x −1 − 6ln(6

x −1 +1) −

+ t

−12arctg12 x −1 + C.

Інтеграція біномінальних диференціалів.

Визначення: Біномінальним диференціалом називається вираз xm(а + bxn)pdx

де m, n, і p – раціональні числа.

Як було доведено академіком Чебишевим п.Л. (1821-1894), інтеграл від біномінального диференціала може бути виражений через елементарні функції тільки в наступних трьох випадках:

1)Якщо р – ціле число, то інтеграл раціоналізувався за допомогою підстановки t = λ x де λ - спільний знаменник m і n.

2)Якщо mn+1 - ціле число, то інтеграл раціоналізувався підстановкою

63

“Курс вищої математики. Частина 2.”

t = s a + bxn де s – знаменник числа р.

3) Якщо mn+1 + p - ціле число, то використовується підстановка, де s – знаменник

числа р.

Проте, найбільше практичне значення мають інтеграли від функцій, раціональних щодо аргументу і квадратного кореня з квадратного тричлена.

На розгляді цих інтегралів зупинимося детальніше.

Інтеграли вигляду ∫R(x, ax2 + bx + c )dx .

Існує декілька способів інтеграції такого роду функцій. Залежно від виду виразу, що стоїть під знаком радикала, переважно застосовувати той або інший спосіб.

Як відомо, квадратний тричлен шляхом виділення повного квадрата може бути приведений до вигляду:

± u 2 ± m2 .

Таким чином, інтеграл приводиться до одного з трьох типів:

1)	∫R(u, m2		−u 2 )du;
2)	∫R(u,	m2	+ u 2 )du;
3)	∫R(u,	u 2 − m2 )du;

1 спосіб. Тригонометрична підстановка.

Теорема: Інтеграл вигляду ∫R(u, m2 −u 2 )du підстановкою u = msin t або u = m cost зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint або cost.

Приклад:

x = a sin t;

− a2 sin 2 ta costdt = ∫a2 cos2 tdt = a

2

∫ a2

− x2 dx =

= ∫ a2

∫(1+ cos 2t)dt =

dx = a costdt

2

=

a2t

+

a2

sin 2t + C =

a2t

+

a2

sin t cost + C =

a2

arcsin

x

+

x

a

2

− x

2

+ C.

2

4

2

a

2

Теорема:

Інтеграл

вигляду

∫R(u,

m2

+u 2 )du

підстановкою

u = mtgt або

зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint і cost.

Приклад:

x = atgt; dx = a

2

dt;

3

2

∫

dx

cos

t

= ∫

a costdt

= ∫

cos

tdt

=

1

∫

(1

−sin

t)d sin t

=

x

4

a

2

+ x

2

=

2

cos

2

ta

4

tg

4

ta

a

4

sin

4

t

a

4

sin

4

t

a

+ x

=

a

;

cost

1

a

2

x

(a

2

+ x

2

)

3 / 2

a

2

+ x

2

= −

+

=

1 −

=

= −

+

+ C.

3a4 sin3 t

a4

sin t

+ C = sin t

a2

+ x2

3a4 x3

a

4 x

a

2

+ x

2

64

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема: Інтеграл вигляду ∫R(u, u 2 − m2 )du підстановкою u =	1	або
	sin t

u = cos1 t зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint або cost.

Приклад:

2

2sin t

∫

dx

=

x =

cost

; dx =

cos

2

t

dt;

∫

2sin t costdt

=

1

∫ctg

4

tdt =

x(x

2

− 4)

5 / 2

=

cos

2

t 2

2

5

tg

5

t

32

x

2

− 4

= 2tgt;

=

1

∫ctg

2

1

−

1

∫ctg

2

td (ctgt) −

1

∫ctg

2

tdt

= −

1

ctg

3

t −

1

32

t

2

t

1 dt = −

32

96

32

∫

2

t

−1 dt =

sin

= − 1 ctg 3t + 1 ctgt + t

+ C =

ctgt

=

2

= −

1

+

1

+

96

32

x2

12(x2

− 4)3 / 2

16

x2

− 4

+

1

arccos 2

+ C.

32

x

2 спосіб. Підстановки Ейлера. (1707-1783)

1)

Якщо а>0, то інтеграл вигляду

∫R(x,

ax2

+bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = t ± x a .

2)

Якщо a<0 і c>0, то інтеграл

вигляду

∫R(x,

ax2

+ bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = tx ±

c .

3) Якщо a<0, а підкорінний вираз розкладається на дійсні множники а, те інтеграл

вигляду

∫R(x, ax2 + bx + c )dx

раціоналізувався

підстановкою

ax2 + bx + c = t(x − x1 ) .

Відзначимо, що підстановки Ейлера незручні для практичного використання оскільки навіть при нескладних підінтегральних функціях приводять до вельми громіздких обчислень. Ці підстановки представляють швидшим теоретичний інтерес.

3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:
I.∫	P(x)dx	;	II.∫P(x) ax	2	+ bx	+ cdx;
	ax2 + bx + c

де P(x) – многочлен, n – натуральне число.

III.∫			dx		;
III.∫	(x − α)	n	ax	2	;
	(x − α)		ax		+ bx + c

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко приведені до виду інтеграла I типу.

Далі робиться наступне перетворення:

65

Материал: Частина 2

Смотрите также: