Материал: book2 (1)
|
|
Для решения поставленной задачи воспользуемся математической |
||||||||||
аналогией с формулой для напряжений. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Запишем вначале формулы, чтобы показать, что аналогия суще- |
||||||||||
ствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Напряжения: |
|
Момент инерции сече- |
|||||||
íèÿ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ·cos2 + ·sin2 , |
= 90 + , |
= 0 ·cos2 + 0 ·sin2 , |
||||||||||
= ·cos2 + ·sin2 , |
|
= 0 ·cos2 + 0 ·sin2 , |
||||||||||
|
|
= |
− |
· |
sin 2 , |
|
|
|
= |
0 − 0 |
· |
sin 2 . |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
Сравниваем эти формулы они аналогичны. Из формул для напряжений можно получить формулы для моментов инерции, если заменить: на , на , на , на 0 , íà 0 .
По аналогии получим следующие формулы:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= наиб = |
[( + ) + |
√( − )2 + 4 · 2 ], |
||||||||
|
|||||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= наим = |
[( + ) − |
√( − )2 + 4 · 2 ], |
||||||||
|
|||||||||||
2 |
|||||||||||
tg 0 = − |
|
|
|
|
tg 2 0 = − |
2 |
|||||
|
èëè |
|
|
. |
|||||||
− 0 |
|
− 0 |
|||||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Таким образом поставленная задача решена. Из полученных формул следует замечательное свойство главных моментов инерции: один из них является наибольшим, а другой наименьшим, если рассмат-
ривать множество осей, проходящих через заданное начало координат (в арифметическом смысле).
5.7.Исследование моментов инерции графическим способом
Так как между напряжениями и моментами инерции существует аналогия, то для определения моментов инерции можно использовать круги Мора.
Рассмотрим решение обратной задачи. Доказательство правомочно-
сти действий можно провести аналогично определению напряжений. Известно: , , . Нужно определить 0 , 0 , 0( 0). Изобра-
зим горизонтальную , и вертикальную оси. Необходимо обра- тить внимание на то, что ось , не имеет отрицательных значений. Покажем произвольное сечение с осями , (рис. 5.7.1).
Строим точки ( , ) и ( , − ). Четв¼ртой величины в моментах инерции нет, но учт¼м, что = − . Пусть > ; это условие необязательно, но для выбранного сечения это так. В рассматриваемом случае также > 0. Далее соединяем точки , и получаем центр
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 5.7.1. Круг Мора для определения моментов инерции
окружности . Зная центр и радиус = проводим круг Мора для моментов инерции и определяем
граф = , |
граф = . |
0 |
0 |
Далее нужно определить угол 0. Строим точку ′ , симметричную точке относительно оси абсцисс. Из точки через точку ′ прово-
дим луч . Это и есть направление оси 0, относительно которой момент
инерции будет наибольшим.
Прямую задачу проработать самостоятельно. Дано 0 , 0 , ( 0 ). Требуется определить , , .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
5.8.Эллипс инерции
Введ¼м новое понятие понятие о радиусе инерции сечения. Изобразим произвольное сечение и любую ось (рис. 5.8.1).
Рис. 5.8.1. Определение радиуса инерции относительно произвольной оси
= |
√ |
|
|
− радиус инерции сечения относително оси |
. |
|
|
|
|
|
|
Отсюда = 2 · . Эта формула для определения не использу- ется, но ряд формул сопротивления материалов, где сокращается площадь, можно записать проще.
Запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
√ 0 |
, |
0 |
= |
√ 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
главные радиусы инерции сечения или радиусы инерции сечения относително главных осей.
Эллипсом инерции называется эллипс, имеющий следующее уравнение в главных осях (рис. 5.8.2):
02 |
+ |
02 |
= 1. |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|||
0 |
|
0 |
|
.
Рис. 5.8.2. Эллипс инерции
Полуосями эллипса инерции являются главные радиусы инерции сечения, но они поменялись местами. Изобразим эллипс инерции для заданного сечения.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть