Материал: book2 (1)
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 5.4.4. Определение положения главной оси для симметричного се- чения
5.5.Зависимость между моментами инерции сечения при повороте от главных осей
Изобразим произвольное сечение, любое начало координат и покажем главные оси 0, 0. 0 0 = 0 (ðèñ. 5.5.1).
Известны 0 , 0 . Необходимо определить , , . Положение осей , определяет угол (на рисунке показан положительный
угол). Выделим элемент сечения . Установим связь между координатами
Закрыть
Рис. 5.5.1. Определение моментов инерции при повороте от главных осей
= 0 |
· + 0 · ; |
= 0 · − 0 · . |
||||
Найдем моменты инерции относительно осей , : |
|
|||||
= ∫ |
2 = ∫ ( 0 · − 0 |
· )2 = 2 · ∫ |
02 − |
|||
|
−2 · · ∫ |
0 · 0 + 2 · ∫ |
02 = |
|
||
|
|
= 2 · 0 + 2 · 0 , |
|
|
||
|
|
∫ |
|
|
|
|
òàê êàê 0 0 = |
0 · 0 = 0. Аналогично получаем , . |
|||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Таким образом
= 0 · 2 + 0 · 2 ,
= 0 · 2 + 0 · 2 ,
= 0 − 0 · 2 2
формулы поворота от главных осей; эти формулы аналогичны формулам поворота от главных площадок в теории напряж¼нного и деформированного состояния.
Последняя формула отвечает на вопрос: сколько же главных осей имеет сечение? Одни главные оси есть и они показаны на рисунке. Если есть другие главные оси, то при повороте к ним
Åñëè = 0, òî 0 − 0 · 2 = 0. Здесь может быть два случая:
2
1) 0 ̸= 0 , тогда 2 = 0, отсюда 2 = · , где все положительные и отрицательные целые числа и ноль. Тогда = 2 · , т.е. бесконечное множество корней. Если оси будем поворачивать на угол, кратный 2 , то будем попадать на прежние оси, правда изменятся направления осей, что в данном случае значения не имеет. Таким
образом, имеется одна пара главных осей.
2) 0 = 0 . В этом случае произведение обращается в ноль при любом и любые оси главные, т.е. имеется бесконечное множество
главных осей. Из формул, привед¼нных выше, получим в этом случае:
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
+ = 0 + 0 .
Примеры таких сечений (рис. 5.5.2):
Рис. 5.5.2. Сечения, имеющие бесконечное множество главных осей
а) круглое, но только тогда, когда начало координат находится в центре тяжести сечения ;
б) квадратное сечение начало координат находится в центре тя- жести сечения , 0 = 0 , следовательно любые оси главные.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
5.6.Определение главных моментов и положения главных осей инерции сечения
Такая задача решается при расч¼те бруса на изгиб. Выше было рассмотрено решение прbменительно к симметричному сечению, а теперь привед¼м решение для произвольного сечения (рис. 5.6.1).
Рис. 5.6.1. Определение главных моментов инерции и положения главных осей
Известны , , . Эти характеристики можно определить численным методом, разбив сечение на отдельные части, или разбив слож-
ное сечение на простые составляющие. Требуется определить 0 , 0 , 0( 0 0).
Рассмотрим произвольное сечение и произвольные оси , . Главные оси, которые следует найти, покажем штриховой линией.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть