Материал: book2 (1)
5.2.Моменты инерции элементарых сечений
5.2.1.Прямоугольник
Провед¼м центральные оси , , центр тяжести сечения (рис. 5.2.1).
Рис. 5.2.1. Прямоугольник
= · , |
= 2 = |
/2 |
2 · = |
·3 |
3 |
] |
/2 |
= |
|
12· |
3 |
|
|||||||
/2 |
|
|
/2 |
. |
|||||||||||||||
Аналогично находим : ∫ |
|
−∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
· 3 |
, |
|
= |
· 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Заметим, что не изменится, если переместить все полоски =· параллельно оси . Таким образом момент инерции параллело-
грамма относительно центральной оси , параллельной основанию, равен:
· 3
= 12 .
5.2.2.Круг
Провед¼м центральные оси , , центр тяжести круга (рис. 5.2.2).
Ðèñ. 5.2.2. Êðóã
Вычислим относительно центра круга. Выделим элементарную
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
полоску в виде кольца толщиной .
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 2· · , |
= ∫ |
2 = 2· ·∫ |
3 |
= |
|
· |
]0 |
= |
· |
|
= |
· |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
32 |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· 4
= 32 .
Но = + . В силу симметрии = , следовательно
= = = · 4 .
2 64
5.2.3.Кольцо
Провед¼м центральные оси , , центр тяжести кольца (рис.
5.2.3)
В этом случае момент инерции кольца равен разности моментов инерции большого круга с диаметром и малого с диаметром .
Обозначим = / , тогда
|
|
= |
· 4 |
(1 |
− |
4), |
|
|
= |
|
= |
|
= |
· 4 |
(1 |
− |
4). |
||
|
32 |
|
|
|
2 |
64 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 5.2.3. Кольцо
5.2.4.Треугольник
Провед¼м ось , проходящую через основание треугольника (рис.
5.2.4)
Определим момент инерции относительно оси , проходящий через основание треугольника.
Из подобия треугольников |
|
|
|
= |
( ) |
|
, отсюда ( ) |
= |
|
· ( − ) |
, |
|||||||||||||
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
3 |
|
|||||
= ∫0 |
2 · ( ) = |
|
|
∫0 |
2 · |
( − ) = |
|
|
( |
|
− |
|
) = |
|
· |
. |
|
|||||||
|
|
|
3 |
4 |
12 |
|
||||||||||||||||||
Заметим, что моменты инерции треугольников с одинаковыми основаниями и высотами относительно оси , проходящий через основание, равны между собой.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 5.2.4. Треугольник
5.2.5.Прокатные профили
Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) значения моментов инерции приведены в таблицах ГОСТа.
5.3.Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одни из которых центральные
Центральные оси это оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения: , центральные оси; 1, 1 произвольные оси, параллельные центральным осям , . Выделим элементарную площад-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть