Материал: Hydrogeodynamics101

3. Основные представления о математическом ¥ моделировании процессов загрязнения подземных вод

Возможности аналитических методов расчета процессов массо­переноса весьма ограничены и поэтому при решении многих инже­нерных задач необходимо обращение к математическому моделиро­ванию. В частности, возможно эффективное применение моделиро­вания в следующих основных направлениях:

1 анали з и обоснование физических моделей массопереноса;

2_ обоснование расчетной схемы массопереноса (миграцион­ная схематизация);

[~3] планирование и интерпретация опытно-миграционных ра­бот и режимных наблюдений гидрогеохимической направленности;

(~4~| прогноз распространения загрязнения в подземных водах и обоснование зон санитарной охраны.

Первоначально моделирование массопереноса в подземных во­дах осуществлялось на основе апробированных ранее методов анало­гового моделирования задач геофильтрации (см. раздел 4.3.2). Это дало хорошую основу для быстрого внедрения математического мо­делирования в рассматриваемую область исследования [20 ], но в то же время привело к применению методов моделирования, недоста­точно эффективных при изучении задач массопереноса.

Так, использованию аналогового моделирования для решения задач данного класса препятствует недостаточная приспособлен­ность разработанных аналоговых схем и приборов для имитации конвективной составляющей переноса. Чтобы пояснить это положе­ние на примере схемы Либмана (см. раздел 4.3.2), попытаемся пре­образовать уравнение переноса (6.21) к конечно-разностному виду, аналогичному уравнению (4.69) для узловой точки сетки электриче­ских сопротивлений. После несложных операций, подобных приве­денным в разделе 4.3.2, получим, что упомянутые уравнения будут формально тождественными, если в каждую г-ую узловую точку

L 4. /

модели массопереноса подать дополнительный ток /¹ , пропорцио­нальный конвективному члену на Л+1-ом временном шаге:

* + 7 ( дс\^{к+1 С}Л * 1~ ^{+ 1}

-ь—кт- _(8Л7)

(структура последнего выражения будет дополнительно обоснована несколько позднее). Важно, что в формулу (8.17) входят неизвестные

(искомые) значения С/+ /и ^cf ^{+ 1} функции концентрации*, а это, в

отличие от схемы Либмана для задач фильтрации, не позволяет автоматизировать процесс решения разностной задачи при переходе от момента времени г =* к At к моменту г = (к+1 )Аt. Между тем именно данное свойство схемы Либмана (практически мгновенное нахождение сеточного решения на каждом из фиксированных вре­менных шагов) сделало аналоговые модели конкурентоспособными при исследовании геофильтрационных задач. Наоборот, при модели­ровании задач конвективно-диффузионного переноса необходи­мость проведения на каждом временном шаге итерационных проце­дур, связанных с подбором токов требуемой силы в каждом из расчетных узлов, делает аналоговые модели неэффективными.

Отсюда понятно обращение к численному моделированию задач массопереноса. Как уже ясно из только что рассмотренного примера, основной особенностью этих задач, во многом определяющей выбор метода их решения на моделях, является наличие конвективной со­ставляющей переноса, которая к тому же по абсолютной величине нередко значительно превосходит диффузионную компоненту (см. раздел 6.3). Последнее обстоятельство, кстати, существенно разли­чает между собой задачи тепло- и массопереноса (см. раздел 6.5): если в прогнозах теплопереноса, благодаря «сильной диффузионно- сти» процесса (т.е. большой роли кондуктивной составляющей), практически возможно непосредственное использование схем чис­ленного моделирования, применяемых для исследования геофильт­рации, то задачи массопереноса обычно требуют внесения качествен­ных изменений в методику моделирования.

Для уяснения сказанного проанализируем основные моменты построения неявной конечно-разностной схемы (см. раздел 4.3.3), аппроксимирующей на равномерной сетке (Ах₍. = const =А х) одно­мерное уравнение конвективно-диффузионного переноса (6.21). Не сужая сущности выводов, можно, кроме того, положить, что пара­метры массопереноса п и D, а также скорость фильтрации v постоян­ны во времени и в пространстве.

Рассуждая так же, как и в разделе 4.3 (см., например, уравнение (4.75) и рис. 4.7), получаем следующие конечно-разностные пред­ставления для емкостного и диффузионного членов уравнения (6.21):

д*

Л+1 к ~^ci

(8.18)

\к+1

к+1 ^ci+1

О С

дх⁴

D

(Ал)²

(8.19)

где с — функция концентрации;

к — номер расчетного временного слоя; i — номер расчетного узла.

Особо рассмотрим представление конвективного члена, который может аппроксимироваться тремя путями

к+1 А+1

^ci-1

с,

— С

^ci

_pdC)А+1 дх i

1—1

— ~v

Ал

к+l к+1 ^ci+1 ~^ci

к+1 jt+1

+1

2 Л:

(8.20)

Первый способ ведет к неустойчивой схеме (представления об устойчивости численных схем даны в разделе 4.3.3); последняя апп­роксимация способна приводить к заметным «выбросам» (осцилля­циям) численного решения, особенно для точек, прилежащих к фронту переноса. Поэтому обычно предпочитают аппроксимировать конвективный член по второму способу (так называемая «левая» разность). Исходя из этого, с учетом выражений (8.18) и (8.19), уравнение конвективно-диффузионного переноса (6.21) записыва­ется в неявном виде следующим образом:

А+1 _ DA.t * £+ 1_-> Л+1 , А+1. , VА( / А+1 __ Jfc+K

2 V^е/—1 ^Ci ^Ci+l ) ТГАл I ^Ci '

^Ci

~^Ci

п (Ал)

(8.21)

Для нахождения погрешности аппроксимации (8.21) разложим искомую сеточную функцию концентрации в ряд Тейлора:

л

(At)³

+ . .

\k

(At)²

dc

+

Ajc +

+

(8.23)

(At) Ax 6

dt^d

*+1— ¹ _i_ (дс) _A . ,

ъ+i ~^ci⁺ bm ^{At +}

\*

Отбрасывая члены малого порядка, найдем искомую погреш­ность:

\*

I

<Гс

дх^:

(8.24)

г, . vAx . v At

L/Л о h-=

I 2 п

Следовательно, при использовании леворазностной аппрокси­мации конвективного члена фактически моделируется задача массо­переноса с коэффициентом диффузии D_p, равным:

Ах

1 +

D_p=D

(8.25)

у At)

пАх\

т.е. значение D_p больше, чем действительный коэффициент диффу­зии D; подчас эти величины различаются на порядок .

Из соотношения (8.25) следует, что в случае схемы поршнево­го вытеснения (D * 0) фронт переноса будет «размазан» за счет чис­ленных эффектов (так называемая численная диффузия). Количест­венно влияние этого фактора можно оценить на примере фундамен­тальной задачи о распространении загрязнения при мгновенном из­менении концентрации на одной из границ области (см. раздел 7.3). На рис. 8.12, отвечающем расчетным значениям п = 0,3 и v х%/D = 50, показана зависимость относительной погрешности се­точного решения (A c(x,ty от числа пространственных (М * х%/Ах, где х° — расчетная координата фронта) и временных (АО шагов для сечения, расположенного поблизости от фронта поршне­вого вытеснения (х/х0,95). Видно, что при реальных условиях

моделирования погрешность численного решения может достигать десятков процентов. Важно, что в отличие от задач фильтрации, для

которых при М > 5-10 (в данном случаем =Ь/ Ах, где L — область влияния моделируемого возмуще­ния) дальнейшая дискре­тизация кусочно-одно­родных областей не ведёт к заметнбму уменьшению погрешности, при модели­ровании уравнений пере­носа дробность разбивки по пространству обычно имеет решающее значе­ние в гораздо более широ­ком диапазоне (см. рис. 8.12). Используя аналити­ческие оценки и опираясь на результаты численного моделирования при боль­ших N(N > 50+100), мож­но получить следующую оценку для выбора шага по пространству:

Рис. 8.12. График зависимости относи­тельной погрешности сеточного ре­шения AV(x,t) задачи конвективно­диффузионного переноса от дробности пространственной разбивки

A* <S(0,1 -Ю,2)

(8.26)

Для сравнительно больших скоростей фильтрации, когда D v, получаем условие:

(8.27)

Д*< (0,1 -Ю,2)^*Г

Следовательно, при реальных значениях параметров массопере­носа шаг разбивки по пространству должен оыть соизмеримым с константой гидродисперсии Oj. Нетрудно видеть, что это условие

является чрезвычайно жестким: реально количество расчетных бло­ков измеряется многими сотнями или тысячами.

Рассуждая теоретически, ситуацию, казалось бы, можно улуч­шить обращением к явным разностным схемам (см. раздел 4.3.3) при соблюдении необходимого условия устойчивости [21 ]:

Нетрудно показать, что в этом случае погрешность аппроксима­ции равна:

vAx

/ Л. \

2 п

D +

*JL дх²

(8.29)

т.е. меньше, чем у неявной схемы (см. формулу (8.25)>. Более того, при выполнении условия

у А( _.

п Ах (8.30)

эффекты «численной диф­фузии» вообще исчезают.

К сожалению, однако ис­пользование явных или явно-неявных схем приво­дит к численным эффек­там иного характера: вбли­зи фронта вытеснения воз­никают ошибки — осцил­ляции численного реше­ния (рис. 8.13).

Таким образом, при решении задач массопере­носа в подземных водах р_ис. 8.13. Влияние эффекта осцилля- приходится ориентиро- иий на точность численного решения ваться на существенно ме- для различных схем. нее точные, чем при моде- Схемы: О = 0 - явная; 0—0,5- явно-неявная; лировании задач фильтра- 0-1- мявная; кривая А - точное решение ( D ции, конечно-разностные “0.0/ м /сут; v-0,1 м/сут; n-0,l;t-10 сут; схемы, требующие для &х -1м; At —0,25 сут) своей реализации непрак­тично (с точки зрения затрат машинного времени) высокой дробно­сти разбивки области массопереноса (см. формулу (8.27)). Это зача­стую делает целесообразным дополнительное упрощение математи­ческой модели миграции подземных вод (миграционную схематиза­цию) , а также подразумевает проведение дополнительных исследо­ваний, направленных на обоснование эффективных методов и схем решения таких задач.

Заключение

Заканчивая курс, автор надеется, что у читателя, про­работавшего эту книгу, сложилось достаточно полное представление и о главных принципах, лежащих в основе науки о движении подземных вод, и о методах решения конкретных задач. Вместе с тем хотелось бы, чтобы все прочитанное не создало впечатления полной завершенно­сти или «закоснелости» изложенной теории, чтобы чита­тель сумел увидеть ее слабые места, побуждающие к даль­нейшему творческому анализу и самостоятельным иссле­дованиям.

Для большей убедительности приведем краткий обзор возможных (но, конечно, не всех) точек приложения на­учных устремлений будущих инженеров-гидрогеологов в сфере ДПВ и сопряженных с нею направлений исследова­ний.

Прежде всего, чтобы результаты наших исследований были эффективными, главные усилия следует сконцент­рировать на коренном улучшении исходной гидрогеоло­гической информации — основе для решения любой ин­женерной задачи. И хотя необходимость устранения, а точнее снижения информационного барьера — основная проблема современной гидрогеологии в целом, ведущее MecTQ в ее разрешении принадлежит принципам и методам ДПВ . Наиболее четко этот тезис подтверждается на при­мере гидрогеологических изысканий и наблюдений, т.е. тех видов работ, которые и призваны в первую очередь получать исходную гидрогеологическую информацию: здесь гидродинамические принципы определяют как ме­тодику проведения и интерпретации этих видов работ, так и саму их постановку (распределение ассигнований по отдельным видам работ, размещение работ по площади и во времени, целесообразные объемы работ и т.д.). Поэто­му идеи ДПВ лежат в основе многих поисковых исследо­ваний в области оптимизации гидрогеологических работ, направленных на повышение полноты и качества получа­емой информации.

Если иметь в виду другую важную сторону нашей работы — гидрогеологические прогнозы, то здесь, поми­мо проблемы исходных данных, наименее изученными остаются вопросы, связанные с прогнозными оценками взаимодействия подземных вод с поверхностными или, более широко, — с прогнозными оценками условий пита­ния и разгрузки подземных вод. Очевидно, что по мере улучшения необходимой исходной информации потребу­ется разработка теории, позволяющей проводить такие оценки на общей научно-методической основе, объединя­ющей движение (миграцию) подземных вод, влагопере- нос (солеперенос) через зону аэрации и динамику повер­хностных режимообразующих факторов. Более близкая задача, решение которой возможно уже на достигнутом к настоящему времени научно-методическом уровне, - пре­вращение гидрогеологических прогнозов в основу регио­нального управления ресурсами и качеством подземных вод; в частности, с этой целью в последнее время все шире внедряются постоянно действующие модели регионов (пока главным образом геофильтрационные). При этом очень важно добиваться тесной связи гидрогеологических прогнозов с оптимизацией гидрогеологических изыска­ний и наблюдений на основе принципов обратной связи и адаптации (см. раздел 7.5): прогнозная модель, управляя разведочным процессом, в то же время постепенно «само- обучается» благодаря поступлению новых данных изы­сканий (наблюдений).

Далее, широкие перспективы открывает тесная связь принципов и методов ДПВ с другими направлениями гид­рогеологии (что уже было подтверждено автором выше на примере комплексного - гидрогеомеханического - подхо­да к задачам инженерной гидрогеологии). Наиболее остро эта проблема стоит сейчас применительно к щдрогеохи- мии, где даже изложенные выше простейшие элементы теории миграции подземных вод используются крайне слабо. В результате этого многие гидрогеохимические ис­следования ведутся, по существу, в отрыве от анализа движения подземных вод, что весьма отрицательно ска­зывается, например, на такой важной области исследова­ний, как охрана подземных вод. Очень слабо пока внед­ряются идеи ДПВ и в региональную гидрогеологию, из-за чего многие исследования здесь завершаются лишь на уровне общих рассуждений качественного характера. На­конец, недостаточно освоены пока гидрогеологами гео­физические методы гидрогеологической направленности, а традиционное проведение этих работ геофизиками, не­достаточно знающими теорию ДПВ, часто сводит эффек­тивность гидрогеофизических работ к минимуму. К этому следует добавить, что во всех упомянутых сферах гидро­геологических исследований речь должна идти не только о внедрении последних достижений, но и о дальнейшей разработке теории ДПВ с учетом специфики соответству­ющих задач.

В целом затронутые здесь проблемы ни в коем случае не исчерпывают список недостаточно разработанных или вообще нерешенных задач гидрогеологии, тесно контак­тирующих с теорией ДПВ , однако даже на их базе можно понять, в каких направлениях должны развиваться в пер­вую очередь основы этой теории.

Перечислим главные направления, требующие актив­ных поисковых исследований.

В области физико-механических основ ДПВ: