Материал: Hydrogeodynamics101

„ -P'S'¹ ./р2_ _гг

^и 4ц '^{Л г}>' (1.17)

т.е. скорость и изменяется в зависимости от г по парабо­лической зависимости (рис. 1.7), причем максимальное значение скорости отмечается вдоль оси трубы (т.е. при г = 0):

„ -P'S'I'R²

4ц ’ (1.17а)

Суммарный расход жидкости Q в трубе определяется как объем тела вращения, разрез которого показан на рис. 1.7:

Q = 2л f_Q и г dr =7ip-gl f₀ (R²-rfr dr # ^{1 R} ;

(1.18)

выражение (1.18) — формула Гагена-Пуазейля.

Среднее значение скорости равно:

и =-Q - ¹ P'S'I'^{r2 ср} ж-R² 8 f¹ (1.19)

т.е. средняя скорость пропорциональна градиенту напора и квадрату радиуса трубы.

Отметим еще один важный в физическом отношении промежуточный результат:

mp _* тр

j _Ш™Р "Ф

(1.20)

('p'g'it'T^'b) ^0

т.е. при параллельноструйном движении градиент напора I пропорционален силам вязкого трения / , приходя­щимся на единицу объема движущейся жидкости.

Формула Гагена-Пуазейля свидетельствует о том, что движение в трубе имеет место при любом градиенте / > О, т.е. при наличии любого сколь-угодно малого перепада напоров между концами трубы. Опыты, однако, показы* вают, что в очень тонких трубках вода начинает переме­щаться лишь при достаточно большом перепаде напоров АН > АН_н> 0. Это объясняется тем, что в тонких капил­лярах вода ведет себя как вязкопластическое тело, обла­дающее некоторым сопротивлением сдвигу. Если величи­ну его, приходящуюся на единицу площади, обозначить через г₀, то закону вязкого трения (1.2а) отвечает закон вязкопластического течения

(1.21)

согласно которому движение возникает лишь при условии I г I > I т₀1, где г — касательное напряжение.

Рассмотрим объем жидкости в тонкой трубке (рис. 1.8). Справа напор равен Я₂, слева Я₁ > Я₂. Тогда равно­действующая гидростатических сил F, приложенных к левому и правому сечениям, равна p-g-(H_l — Я₂)-я- R¹и

направлена слева направо. Движению воды под влиянием силы ^препятствуют силы сопротивления сдвигу, распре­деленные по боковой поверхности, —/_с =r₀-2it R L Та­ким образом, движение жидкости начнется при f_c< F, а условие предельного равновесия имеет вид f_c ~ F.

Рис. 1.8. Схема к определению начального градиента Отсюда получим

« P’g'R ’ (1.22)

где 1_Н — начальный градиент, т.е. минимальный гради­ент, при котором начинается движение.

Согласно экспериментам, для воды x_q «10 ⁴Па [4 ]. Тогда

_2-10~⁶ « R ’

где R выражается в сантиметрах. Для трубки радиусом R * 1 мкм = 10' см (такому радиусу отвечают, кстати/размеры пор в глинистых породах) 1_Н = 0,02, т.е. начальный градиент вполне ощутим. Вместе с тем, величина / сильно мняется с температурой: при росте темпе­ратуры от 15 до 60°С значение T_Q, а следовательно, и начального

градиента падает почти на порядок [4}.

6. О режимах движения

Проверка формулы Гагена-Пуазейля на эксперимен­тах с трубками показала, что она дает хорошие результаты лишь в определенном интервале скоростей. В этом интер­вале зависимость и_ср(1) действительно выражается пря­мой линией, проходящей через начало координат, как это и следует из формулы (1.19). Однако при дальнейшем увеличении градиентов скорости_растут медленнее,, и на конечном участке графика w_cp~v7 (рис. 1.9, участок III). Опыты с запуском в поток окрашенных частиц показали, что в диапазоне участка I (см. рис. 1.9) все частицы жидт кости движутся параллельно друг другу, т.е. имеет место параллельноструйное течение, для которого нами и выво­дилась формула Гагена-Пуазейля, а при выходе скоро­стей за границы диапазоне I отмечается перемешивание окрашенных струй и в жидкости возникают вихревые зоны, т.е. основная предпосылка, заложенная в выводе формулы Гагена-Пуазейля, не выполняется.

Режим параллельноструйного движения, отвечающий диапазону I, получил название ламинарного. При лами­нарном движении скорость пропорциональна градиенту гидростатического напо­ра, или, с учетом форму- ^ лы (1.20), силы сопротив- ^ср ления пропорциональ­ны первой степени скоро­сти.

Режим движения, от­вечающий диапазону III, получил название турбу­лентного. При турбулен­тном движении градиент напора и силы сопротив­ления пропорциональны квадрату скорости.

ЗАМЕЧАНИЕ. На опыт- Рис. 1.9. График зависимости сред­них графиках I - /(и) фикси- ^ней скорости течения в трубе от руется некоторая промежу- градиента точная зона //, отвечающая постепенному переходу от ламинарного движения к турбулентному.

Турбулентный режим характеризуется вихревым бес­порядочным движением жидкости с резкими пульсациями скорости в отдельных точках потока по величине и на­правлению. Окрашенная струйка жидкости, введенная в турбулентный поток, быстро теряет форму и перемеши­вается с остальной жидкостью.

Ясно, что математическое описание такой неупорядо­ченной системы является несравненно более трудной за­дачей, чем в случае упорядоченного ламинарного потока. Поэтому проблема турбулентности во многом остается открытой для исследований и по сей день. «Если вода течет неторопливо или когда сочится вязкая жижа вроде меда, то мы прекрасно все умеем. А вот с настоящей, мокрой водой, брызжущей из шланга, справиться мы не в силах» [30].

Если проводить формальную аналогию с ламинарным движени­ем применительно к исходному закону вязкого трения (1.2а), то при турбулентном движении получаем [17}:

(1.23)

где [А_т — динамический коэффициент турбулентной вязкости,

учитывающий пульсацию давления и перемешивание жидкости. Величина его пропорциональна модулю гра- ди

диента скорости .

О.Рейнольдс проводил многочисленные эксперимен­ты в трубках различного сечения и с различными жидко­стями в целях отыскания верхней границы ламинарного режима. Путем сопоставления результатов серий опытов он пришел к выводу, что режимы движения оказываются подобными, если для всей серии выдерживается один и тот же безразмерный параметр

(1.24)

Величина Re, являющаяся, таким образом, критерием подобия течений, впоследствии получила название чис­ла Рейнольдса. Верхней границе ламинарного режима отвечает некоторое критическое число Рейнольдса Re_Kp, составляющее для гладких труб около 2200.

ВОПРОС. Каков будет режим движения воды в круглом капил­ляре диаметром 1 мм при скорости движения 1000 м/сут?

Итак, содержание этого раздела позволяет сделать некоторые предположения о возможных особенностях движения в тонких трубках при не очень высоких скоро­стях:

1 основной характеристикой энергии потока явля­ется гидростатический напор (в дальнейшем — просто напор);

движение носит ламинарный характер;

потери энергии (напора) определяются преиму­щественно силами вязкого трения, причем показателем интенсивности последних может считаться градиент напо­ра;

I 4 I движение имеет место всегда, как только образу­ется перепад напоров; исключением могут являться очень тонкие трубки, в которых движение возникает лишь при превышении градиентом некоторой начальной величины Ij

ЗАМЕЧАНИЕ. Мы пока оставили в стороне рассмотрение еще двух сил — инерционных и упругих, которые представляют дла нас (как это выяснится позднее) ограниченный интерес.

Так как во всех рассмотренных примерах для расчет­ных оценок нами сознательно использовались исходные цифры, характерные для движения подземных вод через поровые каналы, то можно ожидать, что сделанные пред­положения окажутся справедливыми для фильтрации жидкостей в горных породах. Вместе с тем, мы ни в коем случае не можем пока считать эти положения доказанны­ми для подземных вод, так как горная порода лишь очень приблизительно может уподобляться набору тонких ка­пилляров. Последнее станет понятным уже при самом поверхностном анализе геометрической характеристики порового и трещинного пространства в горных породах.

2. Общая физическая характеристика водонасыщенных горных пород

Водонасыщенная горная пород является двухфазной системой, которая состоит из минерального скелета (твердая фаза) и воды, заполняющей поры и трещины жидкая фаза). Охарактеризуем физически каждую из фаз. Учитывая, однако, что детальным изучением твердой фазы занимается инженерная геология (грунтоведение), мы коснемся главным образом геометрической характе­ристики порового и трещинного пространства.

1. Геометрия пор и трещин в горных породах

Поровые каналы и водоносные трещины в горных породах исключительно разнообразны по размерам и конфигурации. Детальный анализ их геометрии с целью последующего использования в каких-то детерминиро­ванных теоретических построениях заведомо лишен сымсла: даже если такой анализ увенчался бы успехом и мы смогли бы скрупулезно описать геометрические пара­метры этих каналов (трещин), то мы все равно не сумели бы воспользоваться полученными результатами для мак­роскопического описания движения жидкости (см. разде­лы 1.3 и 1.5).

Поэтому и реально, и разумно оперировать некоторы­ми обобщенными или статистически усредненными пока­зателями геометрии порового пространства. Наиболее по­нятным из них является общая пористость , характери­зующая долю порового пространства в общем объеме горной породы. Для дальнейшего ориентирования приве­дем некоторые характерные значения общей пористости доя нкоторых пород (в %): пески 35-50; глины 40-60; песчаники и осадочные карбонатные породы 5-20; грани­ты, гнейсы и кварциты — менее 1. Аналогом пористости для трещиноватых пород является трещиноватость — относительный объем трещин; значение ее обычно не пре­вышает 1-2%, а чаще измеряется долями процента.

Впрочем, прямая польза от этих показателей для нас не очень велика. Например, по ним нельзя судить о спо­собности породы пропускать или отдавать воду (так, по­ристость типичных глин больше, чем у типичных песков); эта способность в большей степени определяется абсо­лютными размерами пор, которые имеют, например, в песках порядок 0,1-1 мм, а в глинах 0,1-1 мкм.

л

/ \ и \ Л

•г =

ПРИМЕР. Выделим единичное поперечное сечение в образце горной породы. Поры занимают площадь п (нетрудно показать, что объемная пористость равна поверхностной), общее число пор про­порционально (г_п — радиус поры). Суммарный расход жидкостй,

согласно формуле Гагена-Пуазейля, пропорционален

_2 \ /

= П'г_п, т.е., при прочих равных условиях, для глин он на 4-6 поряд-

ков меньше, чем для песков.

Важно также, что вода движется не по всем порам, а лишь по связанным друг с другом достаточно крупным порам, образующим так называемое эффективное поро- вое пространство (это понятие используется преимуще­ственно для характеристики нефтяных коллекторов). На­пример, у некоторых песчаников и карбонатных пород эффективная пористость в несколько раз меньше общей [20].

ЗАМЕЧАНИЕ. Наряду с общей пористостью мы будем исполь­зовать коэффициент пористости £, равный отношению объема пор

к объему твердой фазы :£

Если полагать, что в несцементированных песчано-глинистых породах размеры пор примерно соответствуют размерам минераль­ных частиц, то характеристикой статического распределения пор по размерам будет служить гранулометрический состав этих пород. Правда, совокупность одних и тех же частиц можно уложить с разной плотностью, например, пористость системы из шаров равных разме­ров меняется в зависимости от укладки от 26 до 48%, а можно при­думать и такую укладку, что пористость превысит 70%. Вряд ли, однако, имеет смысл останавливаться на этом моменте слишком под­робно, так как от подобных рассмотрений мало пользы для анализа реальных горных пород.

ЗАМЕЧАНИЕ. Общая поверхность пор в 1 см³ горной породы (удельная поверхность ) может быть огромной. Например, если средний размер глинистых частиц равен 0,2 мкм, то удельная повер­хность составляет около 10 м .Уже отсюда понятно, что, продвигаясь через поры, вода вынуждена расходовать большую энергию на тре­ние о стенки пор.