Материал: Hydrogeodynamics101

2. Элементы гидростатики

При отсутствии дополнительных сил, приложенных к поверхности покоящейся жидкости, давление по любой площадке внутри жидкого объема определяется лишь ве­сом расположенного выше столба жидкости высотой А_р:

Р —P’g’hp, (1.3)

где р — гидростатическое давление на глубине А

(избыточное по отношению к атмосферному);

р — плотность жидкости;

g — ускорение свободного падения.

Для пресной воды р * 1 г/см³, для соленой морской воды — около 1,02+1,03 г/см³, а для высокоминерализо­ванных подземных рассолов — 1,2+1,3 г/см³.

ВОПРОС. Почему при вторжении океанических вод в пласт, содержащий пресную воду, они тяготеют к его подошвенной зоне?

Запись формулы (1.3) предполагает постоянство плотности по глубине z. Для неоднородной жидкости

P~~8’Iq p(z)dz. (1.3а)

В частности, изменение плотности с глубиной может являться результатом сжатия жидкости в соответствии с законом Гука (1.1):

Р=Р„+Ар₀ = р₀-(1+|.) , ₍₁₄₎

где р_о — плотность при атмосферном давлении.

Равнодействующая сил гидростатического давления, приходящихся на погруженное в жидкость тело, - есть выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме те­ла.

ВОПРОС. Корабль весом G, объемом V и с площадью днища о) лежит на морском дне (рис. 1.2); чему равно давление в точке А1 Прежде чем ответить на этот вопрос, заметьте, что он сформулиро­ван некорректно и поставьте вопрос правильно (указание: в точке А действуют давления двух различных типов).

Рис. 1.2. Схема к оценке роди гидпростатического взвешивания

Особо напомним основные сведения о гидростатике капилляров.

В открытой капиллярной трубке, опущенной одним концом под уровень воды, гидростатическое давление р меньше атмосферного; на высоте z над уровнем воды оно равно:

p-p'gz, (1.5)

где z < h_K;

h_K — высота подъема воды в капилляре, определяе­мая формулой Лапласа:

h - ^

* Р*-г_к' (1.6)

где а_к — удельная сила поверхностного натяжения, равная для воды 8 Па см; г_к — радиус капилляра.

3. Гидростатический напор

При отсутствии движения механическая энергия жид­кости полностью определяется ее потенциальной состав­ляющей. Показателем потенциальной энергии некоторо­го объема жидкости служит его потенциально возможное высотное положение относительно выбранной плоскости сравнения.

Рассмотрим {/-образную трубу, заполненную водой (рис. 1.3). В точку А опущена тонкая измерительная труб­ка (не капилляр!), открытая с обоих концов. Очевидно, что при равных уровнях в обоих коленах вода в измери­тельной трубке поднимается на высоту h_p, которую опре­деляем из формулы (1.3):

h = Р

^Пе P'g’ (1-7)

где р — гидростатическое давление в точке А.

Величина h_p называется пьезометрической высотой и характеризует, такисм образом, ту долю потенциальной энергии жидкости, которая обусловлена гидростатиче­ским давлением; потенциальная энергия также зависит от высотного положения водосодержащего объема в целом, т.е. от геометрической высоты z относительно произвольно вы­бранной плоскости сравнения. Следовательно, сумма

Н = h„ + z = — + z , /л о\

^р p'g (1-8)

называемая гидростатическим напором, является пока­зателем потенциальной энергии единицы веса жидкости, помещенной на глубину h_p.

ВОПРОС. Что можно сказать о значениях гидростатического напора в различных точках некоторого замкнутого объема покоя­щейся жидкости?

Для более полного описания энергетического баданса жидкости необходимо, очевидно, перейти от гидростати­ческих представлений к гидродинамическим.

м

Рис. 1.3. Схема, иллюстрирующая понятие гидростатического напора

4. Элементы гидродинамики идеальной жидкости

Если выделить в жидкости некоторый малый объем, то движение его будет определяться воздействием:

объема;

1 сил гидростатического давления по поверхности

силы тяжести (вес выделенного объема жидко-

сти)

jTj сил вязкого трения, которые можно пока условно считать распределенными по поверхности выделенного объема;

|4 инерционных сил (подчиняющихся второму за- конуТГьютона);

упругих сил, определяемых сжимаемостью жид- костиГТак как детальное описание движения под воздей­ствием столь сложной системы сил сопряжено с серьезны­ми трудностями, то рассмотрим сначала упрощенную без- инерционную модель идеальной жидкости , т.е. несжи­маемой жидкости постоянной плотности, не обладающей вязкостью. Благодаря последнему допущению мы сумеем более ясно представить значение остальных сил — гидро­статических и гравитационных.

Для этого выделим в установившемся потоке идеаль­ной жидкости тонкую трубку тока (рис. 1.4), образующие которой являются линиями тока. Напомним, что каса­тельные к линии тока направлены вдоль вектора скорости в точке касания и что линии тока друг с другом не пересе­каются, т.е. выделенная трубка тока изолирована от ос­тальной части жидкости. Так как движение установивше­еся (элементы потока не зависят от времени), то трубка тока характеризуется неизменной конфигурацией, а мас­совый расход жидкости вдоль трубки не меняется от од­ного поперечного сечения к другому: в противном случае в потоке должны образовываться пустоты, что физически нереально, или сгущения, что противоречит идеальному характеру жидкости. Итак,р и д ш- const, где и — скоро­сть движения жидкости, которая в пределах поперечного сечения трубки д со может считаться неизменной вслед­ствие его малости. Будем, кроме того, полагать движение плавно изменяющимся, т.е. характеристики его меняются медленно и непрерывно.

Рис. 1.4. Трубка тока в идеальной жидкости

Если мы теперь мысленно выделим в жидкости малый объем д V и будем следить за его перемещением вдоль трубки тока, то, ввиду отсутствия сопротивления движе­нию и постоянства массы М$ув объеме д V (М^у—р-д V),

полная энергия жидкости в нем будет оставаться неизмен­ной во всех последовательно занимаемых им положениях: 3(5*, = const.

Полная энергия складывается из потенциальной и ки­нетической. Потенциальная энергия определяется в на­шем случае полями двух сил — гидростатических и гра­витационных, которые отражены величиной гидростати­ческого напора:

/ \ -*-+ Z

P'g

= MdVg-H =pgd V H =p-g-

•6V

(1.9)

Кинетическая энергия равна:

,2

гурт, ^M6V^U 1 _п ц2 A J/

^э<Гн ₂ -₂^p'^u'^6V (1.10)

Так как + Э^^т = = const

то

^+z+^=const _{п 1П}

P'g 2 g (1.11)

Величина и²/(2g) по аналогии с первыми двумя чле­нами в уравнении (1.11) именуется скоростной высотой h_u и отвечает дополнительному подъему воды в измери­тельной трубке (см. рис. 1.4), обусловленному скоростью потока.

Сумма H_u=h_p+z+h_u называется гидродинамическим напором и отражает, таким образом, полную энергию единицы веса движущейся жидкости. Уравнение (1.11), связанное с именем Бернулли, говорит о том, что для стационарного движения идеальной жидкости гидродина­мический напор в различных точках трубки тока является

одинаковым, т.е. поверхность напорных уровней гори­зонтальна (см. рис. 1.4).

ПРИМЕР. Оценим относительную роль скоростного напора при медленных течениях (со скоростями, имеющими порядок скоростей движения подземных вод V^. Известно, что значения V_& редко пре­восходят 1000 м/сут;. Следовательно, значения h обычно не превы­шают (1000:86400) /(2 ' 9,8) « 0,01 мм, т.е. они пренебрежимо малы.

Таким образом, при движении с малыми скоростями Н_и = Н и гидростатический напор практически может рассматривается как показатель полной энергии движу­щейся жидкости.

5. Элементы гидродинамики реальной жидкости

В реальной жидкости часть энергии потока должна тратиться на преодоление сил вязкого трения, т.е.

^и1 ^и2 ^hp\ + ^zi ⁺2^^>h_P2^+z2 + 2£’ (1.12)

где точка 1 расположена по течению выше, чем точка 2. Напорная поверхность понижается по направлению дви­жения (линия на рис. 4) тем сильнее, чем больше си­лы трения.

При медленных движениях неравенство (1.12) экви­валентно условияю

#,>Я₂, (1.12а)

т.е. гидростатический напор расходуется на преодоление сил вязкого трения и убывает по направлению движения, или, наоборот, необходимым условием движения жидко­сти является наличие перепада напоров.

ВОПРОСЫ. Куда движется вода на рис 1.5? Почему? В каком положении (1 или 2) одинаковые объемы жидкости V_Q обладают большей энергией?

Рис. 1.5. Схема к оценке изменения энергии фиксированного объема в движущейся жидкости

Проиллюстрируем сказанное на примере простейшей задачи для медленного параллельноструйного течения в круглой трубе (рис. 1.6). Рассмотрим в этом потоке дис­кообразный элемент жидкости радиуса г и толщиной b. Полная энергия жидкости в пределах выделенного объема при его перемещении из положения 1 до положения 2

убывает на величину МЛЯ, где М = я-р-г² *Ъ — масса жидкости; AH^ssH_l — Я₂. Эта потеря энергии обусловлена работой А_тр по преодолению сил вязкого трения f_mp на участке длиной I; согласно закону Ньютона (1.2)

^Атр ~fmp'I ^{= Ъ1}'^Г'^Ъ'¹ ’ (1.13)

так как радиус г направлен перпендикулярно к вектору скорости 77, площадь соприкосновения Q выделенного диска с соседними слоями равна 2я-г-Ъ, а знак минус

указывает, что скорость и падает с удалением от центра трубы: du/dr < 0. Итак, А_тр =M g AH, или

TC’p-r’b'g-AH = 2л-Г’Ь‘1.

Рис. 1.6. Схема к выводу формулы Гагена-Пуазейля

(1.14)

М

М

du

Введем величину градиента напора /, представляю­щую собой изменение напора на единицу длины пути: — дН 81 '

В нашем случае, ввиду неизменности конфигурации потока, величина /остается постоянной вдоль длины /, т.е.

Т A# гг ⁷

/ = -у Тогда

—p'gl'rdr = 2p'du (1.15)

есть дифференциальное уравнение движения, в котором скорость является функцией от г. Для его интегрирования

Рис. 1.7. Распределение ско­рости по поперечному сече­нию трубы

учтем, что на стенке трубы скорость равна нулю, т.е. и/_r-_R-0. Следовательно,

с^R ,°

-p-g'ljо r'dr = 2fil_u(r)du. (_1Л6)

Отсюда