Материал: 722

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

A каждый элемент заменяется своим алгебраическим дополнением с последующим транспонированием.

Теорема.	Союзная	матрица		~	квадратной	матрицы A
				A
удовлетворяет	условию:	~	~			определитель
		A A	A A E , где −

матрицы A; E − единичная матрица того же размера, что и матрица

Доказательство. Вычислим произведение A A.

		Aj1
~
~		Aj2
C A A
	ai1 ai2 ain

		Ajn

В j-м столбце матрицы A стоят алгебраические дополнения элементов j-й строчки матрицы A. Согласно правилу умножения матриц, элемент сij матрицы C образуется следующим образом:

	сij ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn,
где правая часть полученного равенства равна при i j										и нулю при
i j. Следовательно,		сij	,i j,
i j. Следовательно,		сij		0,i	j.
Таким образом,				0,i	j.
Таким образом,			0 0			1 0		0
			0 0			1 0		0
~
~	0				0	0 1			0	E.
C A A										E.


		0	0				0 0		1
		0	0				0 0		1
Аналогично проверяется равенство						~		. Что и требовалось
Аналогично проверяется равенство						A A E		. Что и требовалось

доказать.

§ 2. Обратная матрица

Известно, что для каждого числа a 0 существует такое число b, что ab 1. Число b называется обратным для числа a. Если рассматривать квадратные матрицы, то в этом множестве матриц единичная матрица E будет играть роль единицы, т.е. A E E A A. Поставим вопрос о существовании обратной мат-

рицы, т.е. матрицы, которая в произведении с данной даёт единичную матрицу E.

Определение. Матрица A 1 называется обратной к матрице A,

если выполняется условие: A A 1

A 1 A E.

Поскольку умножение матриц некоммутативно, то мы должны

учитывать, что в определении на матрицу A 1 наложено два условия:

A A 1 E,

A 1 A E,

поэтому

матрицу

A 1

можно назвать

двухсторонней обратной для A.

Теорема.

Всякая невырожденная

матрица имеет

обратную.

Обратная

матрица матрицы A

имеет вид:

где

−

определитель матрицы A.

Доказательство. Пусть матрица A является невырожденной, т.е.

det A 0.

A A

Положим,

что

. Тогда

A A

E E. Аналогично доказывается, что A

A E.

Таким образом, матрица A 1 A является двусторонней

обратной для матрицы A. Этим мы установили, что всякая невырожденная матрица имеет обратную. Что и требовалось доказать.

			1	Свойства обратных матриц
1. det A 1			1	, т.е. определители матриц A и		A 1	взаимно-
1. det A 1				, т.е. определители матриц A и		A 1	взаимно-
обратные.			det A
обратные.
1		A.
2. A 1		A.
3. A B 1 B 1 A 1.
T			1
4. A 1	AT .
5. E 1 E.					2	1	1
					2	1	1
Пример. Найти обратную матрицу A 1						1
Пример. Найти обратную матрицу A 1					, если A 4	1	3 .
						3
					8	3	6

Решение. 1. Находим определитель матрицы A:

det A	2	1	1		1	3	4	3	4	1	2 0.

	4	1	3	2
					3	6	8	6	8	3
	8	3	6

Следовательно, матрица A имеет обратную.

2. Вычисляем алгебраические дополнения к элементам матрицы:

A11	1			3			3,				A12			4			3		0,			A13		4				1			4,
A11	3			6			3,				A12			8			6		0,			A13		8				3			4,
A21		1			1			9,				A22				2	1				4,		A23					2				1		14,
		1			1											2	1											2				1
		3					6									8		6										8			3
A31	1			1		4,					A32				2		1		2,			A33				2			1				6.
	1			1											2		1									2			1
	1			3											4		3									4		1
																				~		3				9							4
																				~							4
3. Находим союзную матрицу: A 0																											4				2 .
																									14						6
																						4			14						6
																																			~
4. Находим обратную матрицу по формуле A																														1					A
																																				.
																																				.
											3	9				4					1,5		4,5					2
									1		3	9				4					1,5		4,5					2
Имеем: A			1						1
											0		4			2				0			2					1 .
									2		0		4			2				0			2					1 .
									2														7
											4 14					6					2		7					3
5. Сделаем проверку:
					2						1	1	1,5				4,5					2
A A 1										1										2
A A 1			4							1		3 0								2		1
										3										7
					8					3		6 2								7		3
3 0 2										9 2 7							4 1 3						1				0 0
									18 2 21
6 0 6									18 2 21								8 1 9 0										1 0 E .
																											0 1
12 0 12									36 6 42 16 3 18														0				0 1

§ 3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A	a21	a22	...	a2n
A		...	...	...	.
	...	...	...	...
		am3	...
	am1	am3	...	amn

Выделим в данной матрице произвольные k					строк и k		столбцов
и составим определитель k -го порядка, где				k min m,n .			Данный
определитель называют минором k -го порядка матрицы A.
		1		5	2	4
				3	9
Например, для матрицы	A	0				7	можно
			5	3	6	4

			2	10	4	8

выделить миноры 4-го, 3-го, 2-го и 1-го порядка. В качестве миноров 1-го порядка рассматривают сами элементы матрицы. Минором 2-го


порядка является, например, определитель	3		7	,	полученный
	3		4

выделением 2-й и 3-й строк и 2-го и 4-го столбцов матрицы A. Одним
из миноров 3-го порядка является определитель		1	5		2	. Минор

		0	3		9
		5	3		6

4-го порядка в данном случае совпадает с определителем матрицы A. Определение. Если у матрицы A все миноры k -го порядка (k r) равны нулю, а среди миноров порядка r имеется хоть один,

отличный от нуля, то число r называется рангом матрицы A и обозначается r(A) или rang(A).

1		2	1
		4	2
Пример. Вычислить ранг матрицы 2				.
	1	3	1

Решение. Для данной матрицы можно составить 9 миноров 1-го порядка: 1,2,1,2,4,2,1,3,1 − это элементы матрицы; 9 миноров 2-го

порядка:				1		2	0,		1			1	0,		2	1	0,	1	2	1,	1	1	0,				2	1		1,
порядка:				2		4	0,		2			2	0,		4	2	0,	1	3	1,	1	1	0,				3	1		1,
				2		4			2			2			4	2		1	3		1	1					3	1
	2	4	2,		4	2		2,			2	2		0 и 1 минор 3-го порядка:											1	2		1	0.


																									2	4		2
	1	3			3	1					1	1													2	4		2
	1	3			3	1					1	1													1	3		1
										r(A) 2,															1	3		1
		Следовательно								r(A) 2,						т.к.	среди			миноров				2-го				порядка

имеются не равные нулю.

Замечание. Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен её порядку.

При определении ранга матрицы приходится вычислять большое число определителей. Поэтому при вычислении ранга применяют элементарные преобразования матрицы.

Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны между собой, т.е. элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство. 1. При умножении строки матрицы на число0 любой минор матрицы окажется умноженным на (если он содержит элементы данной строки) или останется неизменным в противном случае. Это значит, что все нулевые миноры останутся равны нулю.

2. Прибавим к элементам строки матрицы соответствующие элементы другой строки, умноженные на число . Эта операция не изменит миноров эквивалентной матрицы, которые не содержат изменённую строку. Для элементов, содержащих изменённую строку, получим US(k) MS(k) Mi(k) , где MS(k) , Mi(k) − миноры матрицы A.

Отсюда следует, если все миноры k -го порядка матрицы A равны нулю, то все миноры k -го порядка эквивалентной матрицы также равны нулю, т.е. ранг не изменится. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим ступенчатую матрицу:

a		a	a		a
	11	12		1r		1n
0		a22	a2r		a2n

							,
	0	0	arr
					arn
	0	0		0		0

	0	0		0		0

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A	a21	a22	...	a2n
A		...	...	...	.
	...	...	...	...
		am3	...
	am1	am3	...	amn

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A	a21	a22	...	a2n
A		...	...	...	.
	...	...	...	...
		am3	...
	am1	am3	...	amn

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A	a21	a22	...	a2n
A		...	...	...	.
	...	...	...	...
		am3	...
	am1	am3	...	amn