Материал: 722

13

Глава 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Основные понятия

Одной из важнейших характеристик квадратной матрицы n-го порядка является определитель (или детерминант), который обозначается A или det A и представляет собой определитель n-го порядка, составленный из тех же элементов, расположенных в том же порядке, что и матрица. Таким образом, если

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на второй диагонали.

Определение. Определителем 3-го порядка называется число, равное

14

a11 a12 a13

A a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11.

При вычислении определителя 3-го порядка можно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое иллюстрируется схемой

Введём понятия минора и алгебраического дополнения для элементов определителя.

Определение. Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n 1)-го порядка, полученный из

Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i j − чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётна.

Таким образом, по определению Aij ( 1)i j Mij .

15

a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11

a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)

a12( 1)1 2 M12 a13( 1)1 3 M13 a11A11 a12A12 a13A13.

Следовательно, определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов первой строки определителя на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Приведём доказательство теоремы для случая определителя 3-го порядка. Разложим определитель по элементам второй строки. Имеем:

a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11.

Написанная сумма совпадает с определителем 3-го порядка. Что и требовалось доказать.

16

Используем разложение определителя по 1-й строке.

4 (2 5) 3 (1 2) 2 ( 5 4) 12 9 18 3.

Разложение определителя по элементам 3-й строки будет выглядеть следующим образом:

2 ( 3 4) 5 ( 4 2) 1 (8 3) 2 10 5 3.

Определители более высоких порядков вычислять по определению достаточно сложно. В этом случае используют теорему о разложении определителя по элементам какой-либо строки и столбца. Например, определитель 4-го порядка запишется в виде суммы произведений элементов строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. В данном случае алгебраические дополнения есть определители 3-го порядка.

§2. Свойства определителей

1.Определитель транспонированной матрицы AT равен определителю исходной матрицы A.

3 2 1

Пример. A 2 1 3 .

1 0 1

Разложим определитель по элементам 3-й строки. Имеем:

Транспонируем матрицу A и вычислим её определитель.

17