Материал: 722

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			3	2	1		2	1
	AT		3	2	1	(по элементам 2-й строки) 2
			2	1	0
			2	1	0		3	1
			1	3	1		3	1
			1	3	1
1		3		1	2 ( 5) 2 8.
		3		1
		1		1
		1		1

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

Пример.	3	5	21 20 41.
	4	7

Поменяем местами первую и вторую строчки. Имеем:

4 7

20 ( 21) 41.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Пример.

	3	2	2		0	1		5	1		5	0
A													6 14 20 0.
	5 0		1	3			2			( 2)
					2	2		3	2		3	2
	3	2	2

4.Если определитель содержит строку (или столбец), состоящую из нулей, то он равен нулю.

Это свойство очевидно, т.к. достаточно разложить определитель по элементам нулевой строки (столбца).

5.Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

						3	6	3
Пример.				A		1	2	4		(по элементам 1-й строки)=
						2	3	1
3	2	4	6		1	4	( 3)		1		2
	2	4			1	4			1		2
	3	1			2	1			2		3
	3	1			2	1			2		3

3 (2 12) 6 (1 8) 3 (3 4) 105.

Вынесем общий множитель элементов первой строки за знак определителя, имеем:

			3		6	3			1	2	1
	A		1		2	4	3		1	2	4		(по элементам 1-й строки)=
	A		1		2	4	3		1	2	4		(по элементам 1-й строки)=
			2		3	1			2	3	1
				2	4			1	4			1		2
				2	4			1	4			1		2
3						2				( 1)
3		1		3	1	2		2	1	( 1)		2		3
				3	1			2	1			2		3

3 (2 12) 2 (1 8) (3 4) 3 ( 35) 105.

6.Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей, в которых элементами этой строки (столбца) служат отдельные слагаемые:

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23 c

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

7.Если все элементы некоторой строки (или столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю.

Действительно, по свойству 5 общий множитель элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя, тогда получим определитель с двумя одинаковыми строками, а он равен нулю по свойству 3.

8.Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример. Доказать, что

	a11	a12	a13	a11	a12	a13	k a12
A	a21	a22	a23	a21	a22	a23	k a22	.
	a31	a32	a33	a31	a32	a33	k a32

Используя свойства 6, 5 и 3, получим:

a11

a12

a13

k a12

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23 k a22

a21

a22

a23

a21

a22

k 0

a31

a32

a33 k a32

a31

a32

a33

a31

a32

Замечание. Это свойство позволяет получить нулевые элементы в какой-либо строке (или столбце), кроме одного элемента, и свести

этот определитель n-го порядка к одному определителю (n 1)-го порядка.

		1	2	3	4
Пример. Вычислить определитель	A	2	1	2	3	.

		3	2	1	2

		4	3	2	1

Если при вычислении данного определителя применить разложение по элементам любой строки (столбца), то получим четыре определителя 3-го порядка. Этот путь нецелесообразен. Воспользуемся свойством 8 и преобразуем определитель.

Получим нулевые элементы в первом столбце, для этого умножим элементы первой строки последовательно на (−2), (−3), (−4) и прибавим к соответствующим элементам 2-й, 3-й и 4-й строк.

		1	2	3	4	1	2	3		4
Имеем:	A	2	1	2	3	0	3	4		5
		2	1	2	3	0	3	4		5
		3	2	1	2	0	4	8		10
		3	2	1	2	0	4	8		10
		4	3	2	1	0	5	10		15
= (по элементам 1-го столбца) 1									3	4	5	(по свойству 5
									3	4	5
									4	8	10
									5	10	15

вынесем общие множители 2-й и 3-й строки за знак определителя) =

		3		4	5
( 2) ( 5)			2	4	5	( сложим 1-ю и 2-ю строки) =
			1	2	3
1	0		0		4	5
10 2	4		5		4	5
10 2	4		5	10		10 (12 10) 20.
					2	3

12 3

9.Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим данное свойство на примере определителя 3-го по-

		a11 a12 a13
рядка	A	a21	a22	a23	. Допустим, что элементы 1-й строки опреде-
		a31	a32	a33

лителя умножаются на алгебраические дополнения 3-й строки, т.е.

a A a A	a A	a	a12	a13	a	a11	a13	a	a11	a12
11 31 12 32	13 33	11	a22	a23	12	a21	a23	13	a21	a22

a11(a12a23 a13a22) a12(a11a23 a13a21) a13(a11a22 a12a21)

a11a12a23 a11a13a22 a12a11a23 a12a13a21 a13a11a22 a13a12a21) 0.

Замечание. Очевидно, что определитель единичной матрицы равен единице (detE 1), а определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

4 0 0

Пример. Вычислить определитель 0 1

0 4 ( 1) 5 20.

0 0 5

										Задачи для самостоятельной работы
1.				Вычислить определители 2-го порядка:
а)	1			2		; б)				3	2		;	в)		tg		1			; г)	cos	sin		.
	1			2						3	2					tg		1				cos	sin
			5	7						6	1					1			tg			sin	cos
			5	7						6	1					1			tg			sin	cos
2.				Вычислить определители 3-го порядка:
		7		1	3						1			9	0					sin2		cos2	1


а)		1		8			4		;	б)	1			0	1		;		в)	sin2		cos2	1	.
		3		3			5				3			1	1					sin2		cos2	1
3.				Решить уравнения:
3.				Решить уравнения:
а)			x 5		3			0;		б)		x 3			x 4				20;
			x 5		3							x 3			x 4
			x 7		4							x 2			x 2
			x 7		4							x 2			x 2

	3	x	2			x	2	5
в)	5x	6	3x	0;	г)	8	1	x	0.
	7	11	4			7	4	3x

4. Сделав линейные преобразования, вычислить определители

4-го порядка:

	1 1		4	0		2	2	1	6
а)	2 2		1	0	; б)	2	2	1	2	.
а)	0	1 3		1	; б)	3	1	1	1	.
	0	1 3		1		3	1	1	1
	2	1	1	8		3	1	1	2

Ответы: а) 45; б) -44.

Глава 3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ

§ 1. Основные понятия

Пусть A − квадратная матрица n-го порядка:

	a		a	a
		11	12		1n
A	a21		a22	a2n
						.


			an2
	an1				ann

Определение. Квадратная матрица A называется невырожденной, если её определитель не равен нулю: det A 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

			A	A	A
			11	21		n1
Определение. Матрица	~	A12		A22	An2		, где Aij	−
Определение. Матрица	A						, где Aij	−

			A	A	A
			A	A	A
			1n	2n		nn

алгебраические дополнения элемента aij матрицы называется союзной

(или присоединённой) к матрице A.

Заметим, что в i-й строке союзной матрицы A стоят алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы A. Поэтому союзная матрица получается следующим образом: в матрице

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11