Материал: 722

где a11,a22, ,arr не равны нулю. Тогда один из миноров матрицы порядка r имеет вид:

0 0 arr

Матрица содержит только r ненулевых строк, всякий минор порядка k r содержит хотя бы одну нулевую строку, а потому равен нулю.

Вывод. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение. Выполним элементарные преобразования матрицы. Помножим элементы первой строки на (−5) и 2 и прибавим к соответствующим элементам 3-й и 4-й строк.

Имеем:

Отбрасываем строку, состоящую из нулей, получаем матрицу

Разделим элементы 3-й строки на 4, имеем:

28

Вычитая из 2-й строки матрицы, умноженной на (−7), элементы 3-й строки, умноженные на 3, получим

Количество ненулевых строчек равно 3, следовательно, r(A) 3.

Задачи для самостоятельной работы

4. Вычислить ранг матрицы:

29

Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),

содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

а bi − свободными членами.

____

Совокупность чисел xi i, i 1,n , которые обращают все уравнения системы в тождество, называют решением СЛАУ.

Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме:

A X B.

Матрица A называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, т.е.

30

Произведение матриц A X имеет смысл, так как число столбцов в матрице A совпадает с числом строк в матрице X .

Матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных членов системы, называется расширенной матрицей системы и имеет вид

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не существует.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений. Каждое решение неопределённой СЛАУ называют частным решением. Совокупность всех частных решений называют общим решением.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна данная система или нет, а также указать способ нахождения решения.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение.

Эквивалентные СЛАУ получаются при элементарных преобразованиях над строками матрицы системы. Под элементарными преобразованиями СЛАУ понимают следующие операции:

1)умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одному уравнению системы другое уравнение, умноженное на произвольное число;

3)перемена местами двух уравнений системы.

Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы этой системы, и наоборот. Заметим, что элементарные преобразования системы обратимы, т.е. если мы перешли путём элементарных преобразований от одной системы к другой, то мы можем

31

возвратиться к первоначальной системе, выполнив опять некоторые элементарные преобразования.

Если две системы уравнений эквивалентны, то они обе или совместны, или несовместны.

СЛАУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

.............................................

am1x1 am2x2 ... amnxn 0.

называют нулевым или тривиальным.

§ 2. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная СЛАУ из m уравнений с n неизвестными:

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1,

a21x1 a22x2 ... a2nxn b2,

am1x1 am2x2 ... amnxn bm.

Ответ на вопрос о совместности данной системы даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема. Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу матрицы данной системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система совместна, то-

гда существуют числа x1 1, x2 2 ,…, xn n, которые обращают уравнения нашей системы в тождество, т.е.

32