Материал: 722

.............................................

am1 1 am2 2 ... amn n bm.

Рассмотрим расширенную матрицу системы A/B и выполним над ней следующие элементарные преобразования: к последнему столбцу прибавим последовательно все её столбцы, предварительно умноженные соответственно первый на 1 , второй на 2 , …, n-й на n . Получим

По теореме об элементарных преобразованиях ранг матрицы С

Достаточность. Пусть r(A/ B) r(А) r, покажем, что система совместна.

Предположим, что отличный от нуля минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы A, т.е.

В этом случае первые r строк матрицы A/B линейно независимы, так как её ранг равен r, то остальные строки матрицыA/B линейно выражаются через первые r строк.

Перепишем первые r уравнений в виде

33

a11x1 a12x2 a1rxr b1 a1,r 1xr 1 a1nxn,

...........................................................................

ar1x1 ar2x2 arrxr br ar,r 1xr 1 arnxn.

Это означает, что первые r уравнений системы независимы, а остальные являются их следствиями. Решаем первые r уравнений, эти решения автоматически удовлетворят и остальные уравнения. При этом возможны два случая: r n или r n.

1.Если r n, то число уравнений равно числу неизвестных, причем определитель системы D 0, следовательно, система имеет единственное решение.

2.Если r n, то число уравнений меньше числа неизвестных.

Придавая свободным переменным xr 1,xr 2, ,xn произвольные значения r 1, r 2, , n , приходим к системе r уравнений относительно r главных неизвестных x1,x2, ,xr . Эта система имеет единственное решение, т.к. D 0.

Так как значения r 1, r 2, , n произвольны, то система будет иметь бесчисленное множество решений. Что и требовалось доказать.

Следствие. СЛАУ является совместной, если r(A/ B) r(А), при этом возможны следующие варианты:

1)r(A/ B) r(А) n, то СЛАУ совместная и определённая;

2)r(A/ B) r(А) n, то СЛАУ совместная и неопределённая. СЛАУ является несовместной, если r(A/ B) r(А).

§ 3. Решение невырожденных систем линейных алгебраических уравнений

Матричный способ решения СЛАУ

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными:

или в матричной форме A X B.

34

Основная матрица A данной системы является квадратной. Определитель данной матрицы имеет вид

an1 an2 ann

Пусть матрица A является невырожденной, тогда 0. Такая система линейных уравнений называется невырожденной.

Невырожденная матрица имеет обратную, тогда в матричной форме уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения A X B слева на матрицу A 1, имеем:

A 1 A X A 1 B.

Используя ассоциативный закон умножения матриц, можно записать

уравнения имеет вид X A 1 B.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

Вычислим определитель данной системы:

Матрица является невырожденной, следовательно, можно найти

обратную матрицу A 1.

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам матрицы:

35

т.е. x1 2, x2 5, x3 3.

Сделаем проверку:

7 2 2 ( 5) 3 3 13,

9 2 3 ( 5) 4 3 15,

5 2 5 3 3 14.

Найденные значения неизвестных удовлетворяют данной системе.

Формулы Крамера

или

36

первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Имеем:

столбца столбцом свободных членов, называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

7x1 2x2 3x3 13,9x1 3x2 4x3 15,

5x1 x2 3x3 14.

37