Материал: 2277

11

1

Имеем множество решений. Например,

z 0;

x

; y

7

7

6

5

или

z 1;

x

;

y

и другие,

которые получаются при различ-

7

7

ных z.

го:

Проверку сделаем для любого из наборов, например для перво-

11

3

0

14

2;

и

С

7

7

7

22

1

0

21

3;

верно.

7

7

7

бА

33

2

0

35

5.

7

7

7

11

5

x

7

7

z;

Ответ:

z лю ое число. Решений множество.

y

1

4

z.

7

7

Д

3.

x y z 1;

3x y z 5;

x y z 3.

И

Решение. Преобразуем расширенную матрицу

1

1 1

1

3 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A 3 1

1

5

~ 0

4 2

2

~ 0 4

2

2 .

2

1

1

1

3

0

2

0

2

0

0

1

1

x y z 1;

z 1;

x 1 y z 1 1 1 1;

4y 2z 2; 4y 2 1 2;

С

y 1.

z

1;

Проверка:

1 1 1 1;

3 1 1 5;

верно.

и

1 1 1 3.

Ответ: x 1;

y 1;

z 1. Решение единственное.

4.

бА

x 4x

2x 1;

1

2

3

n 4.

2x1 3x2 x3 5x4 7;

3x 7x

2

x 5x

4

8.

1

3

1

4

2

0 1

1

4

2

0 1

3

1

5

5

5

A* 2

7 ~ 0 5

5 ~

3

7

1 5

8

0 5

5

5

5

1

4

2

0 1 Д

1

1

1

решенийИмножество, 4 2 2

~ 0

1 .

0

0

0

0

0

Отсюда rangA rangA* n 4,

Если положить x3 1;

x4 2 (1, 2 произвольные числа), то по-

лучим

С

x2 1 1 2; x1 5 21 42.

5.

2x

3x

x 2;

1

2

3

7x1 4x2 2x3 8; n 3.

3x 2x

2

4x 5.

1

3

1 2

3 2

1

2 3 2

бАn 3.

4

A* 2 7

8 ~ 0

11 10 12 .

4 3

2

5

0

0 0 1

и

Отсюда заключаем:

rangA 2;

rangA* 3, следовательно, сис-

тема неразрешима (несовместна).

6.

x1

x2 x3 12;

Д

2x

3x

2

x 13;

1

3

3x2 4x3

5;

3x

x

2

4x

3

20.

1

1

1 1

12

1

1

1

12

3

1

13

5

A*

2

~

0

3 11

~

0

3

4

5

0

3

4

5

И

3

1

4

20

0

2

7

16

1

1 1

12

1

1

1 12

2 7

2

0

16

0

7 16

~

0 0 29

58

~

0

0 1 2

.

0 0 29

58

0

0 0 0

С

т.е.

система уравнений раз-

Заключаем: rangA rangA* 3 n,

решима, решен е ед нственно.

Треугольная с стема имеет вид

x1

x2

x3

12;

16;

2x2 7x3

бА

x

2.

3

иОтсюда x 9; x 1; x

3

2.

1

2

Посмотр те в део 1.

§9. Однородные системы

Рассмотрим однородную систему b1

b2 b3

bn 0 ли-

нейных уравнений:

Д

a11x1 a12x2 a1nxn 0;

И

a

x a

x

a

x

m1

m2

2

mn

n

0.

1

Такая система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (три-

виальное) решение:

x1 x2 x3

xn

0. Чтобы однородная сис-

2x y 2z 0;

x 2y z 0;

n 3.

x y z 0.

Решение. Находим ранг матрицы системы:

С

2

1

2

A 1

2 1 ; r A 2 n.

1

1

1

стема меет ненулевые решения.

двух.

и

2.

Реш ть с стему

2x y 2z 0;

x 2y z 0.

Решение. Преобразуем систему к виду

2x y 2z;

x 2y z.

бА

ная переменная, константа). Получаем решение: x z; y 0.

В случае m n однороднаяДсистема имеет единственное нулевое

решение при условии det A 0. Если det A 0, то система имеет бес-

численное множество ненулевых решений.

И

Примеры:

1. Сколько решений имеет система?

x 2y 3z 0;

m n 3.

x y z 0;