Материал: 2277

a11x1 a12x2 a12xr b1 a1r 1xr 1 a1nxn;

С

(3)

a x a

r2

x

a

x

b a

rr 1

x

r 1

a

x

.

r1 1

2

rr r

r

rn n

системы

получим формулы,

Решая с стему (3) по формулам Крамера,

выражающ е основные переменные x1,x2, ,xr

через свободные пе-

ременные xr 1,xr 2, ,xn.

Придавая свободным переменным произ-

вольные значен я, получаем

есконечное множество всех решений

.

бА

Пр мер

Реш ть с стему

3x1 2x2 x3 x4 x5 1;

x x

2

x 2x

4

x 0;

1

3

5

x 2x

2

3x 9x

4

5x 1;

1

3

5

4x 3x

Д

1

2

3

4

Решение. Находим ранги матрицы системы и расширенной матрицы

системы:

И

3

2

1

1

1

1

1

2

A

1

1

r A 2.

1

2

3

9

5

4

3

2

1

0

С

3x 2x

2

1 x x

4

x ;

1

3

5

x1 x2 x3

2x4 x5;

3

2

1.

1

1

и

Решая эту с стему по формулам Крамера, получим

x

1

1

1 x3

x4

x5

2

1 x 5x 3x ;

бА

4

5

1

1

x

2x

4

x

5

1

3

3

x

2

2

3

1 x3 x4 x5

1 2x 7x

4x .

2

1

1

x 2x

4

x

3

4

5

3

5

При разных значениях x3,x4,x5 мы получим бесконечно много

решений системы.

Д

Замечание 1. При выборе другого базисного минора мы имели

бы другие формулы, описывающие то же множество решений систе-

мы из примера со с. 26. Например, если за базисный взять минор вто-

рого порядка, стоящий в правом нижнем углу, основными перемен-

ными будут x4 и x5, а свободными x1,x2,x3.

И

Замечание 2. Если в исследуемой системе число уравнений

совпадает с числом неизвестных, det A 0,

то r A n. В случае, ко-

гда r A r A* , система несовместна.

a

a

a

b

11

12

1n

1

a21

a22

a2n

b2

A*

a

a

b

a

m1

m2

mn

m

и

a

a

b

С

a

a

11

12

1m

1n

1

0

a

a

~

22

2m

a2n

b2

A

0

0

бА

b

0

0

a

a

mm

mn

m

или бл зкому к нему в ду (см. прил. 5).

~

С стема уравнен й, соответствующая матрице A, эквивалентна

исходной.

При выполнении прео разований над расширенной матрицей

системы A* разрешаются следующие элементарные преобразования:

– прибавлять к лю ой строке другую строку, умноженную на

любое число;

– переставлять строкиA*;

– умножать строки матрицы A* на любые числа, кроме нуля;

– вычеркивать одну из двух пропорциональных строк;

– вычеркивать нулевую строку.

И

После выполнения элементарных преобразований получается

матрица одного из трех видов:

Д

а)

0

система имеет единственное решение (совмест-

на);

б)

0

система имеет множество решений (совместна);

бА

4x y z

12.

Решение. Вып сываем расширенную матрицу и делаем элементарные

преобразован я только со строками:

1

1 1

4

2 1 4

1 1

1

4

2

1

2

1 3

8

0

3

5

0

A

1

1

3

0

~

0

2

2

4

3

~

4

1 1

12

0

3

3

4

1 1

1

4

1 1

1

4

3

5

3

5

0

0

0

0

~

16

2 3 ~

И

16

4

.

0 0

4

0 0

3

16

Д3 5

0 0

2

4

0 0

0

2

x 3y z 2;

2x y 2z 3;

С

3x 2y z 5.

Решение. Выписываем расширенную матрицу и делаем элементарные

преобразован я только со строками:

и

1

3 1

2

1 3

1

2

1 3

1 2

2 3

A 2

1

2 3

~ 0

7 4

1

1 ~ 0

7

4

1 .

3 2

1 5

0

7 4

1

0 0

0

0

бА

Нулевую строку от расываем, выписываем систему:

x 3y z 2;

7y 1 4z y

1

4

z.

7y 4z 1

7 7

Подставляем в первое уравнение:

1

4

x 3

z

z 2;

7

7

x

3

12 z z 2;

7

7

Д11 5

x

z.

И

Получили

7

7

11

5

x

z;

7

7

1

4

y

7

7

z;

z любое число.