Материал: 2276

Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»

Вариант 1

1. Начерт ть область D и изменить порядок интегрирования

С

0

0

dy f (x; y)dx.

3

y2 9

2.

тела, ограниченного поверхностями

y

х; у х; z 0; z x 4 .

3. Вычислить

А

Д

4. Вычислить момент инерции относительно начала координат

фигуры плотностью (х, у) = 1, ограниченной линиями

х + у = 2; х = 2; у = 2.

И

5. Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с

поверхностной плотностью (x; y;z):

: x2 y2 4;x2 y2

9; x 0;y 0(x 0;y 0);

(y 4x) (x2 y2 ).

Вариант 2

1.

Начертить область D и изменить порядок интегрирования

1

4 y

dy f (x; y)dx.

0

2y

2.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

y 0; х 0; z 0; х 4; у 4;z 1 x2 у2 .

и1

Сx4

2x

2 y2 y

4

dxdy, если область является

3.

Выч сл ть

x2

y2

бА

y 3x и

сектором круга x2 y2

36, ограниченного прямыми

y

x, расположенного в первой четверти.

3

4.

Вычислить координаты центра тяжести однородной пластин-

ки, ограниченной линиями x=0; y = 0; х = 4–у2; = const.

5.

Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с

поверхностной плотностью (x; y;z)

:

Д

: x2 y2 1;x2 y2 25; x 0; y

0(x 0, y 0);

(x 4y) (x2 y2 ).

Вариант 3

И

1.

Начертить область D и изменить порядок интегрирования

2

x

dx f (x; y)dy.

1

0

2.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z2 ху; y 0; у 4;х 0,х 1; z 0.

прямыми x y; x 0

y 0 .

С

и

: x2 y2

4;x2 y2 9; x 0; y 0(x 0; y 0);

(y 2x) (x2 y2).

бА

Вариант 4

1. Начерт ть о ласть D и изменить порядок интегрирования

1

2 x2

dx f (x; y)dy.

0

x

2

2

Д

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

y 0;

у 2х; у 6 х; z x2 у2; z 0.

3. Вычислить x2

4xy dxdy, если область ограничена дугой

окружности x

y

4

и прямыми y 0; y x и лежит в первой

4. Вычислить момент инерции относительно точки пересечения

диагоналей прямоугольной пластинки со сторонами 4 и 6, если ее

плотность (х, у) = 2.

И

5. Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с

поверхностной плотностью (x; y;z) :

: x2 y2 4;x2 y2 16;

x 0; y 0(x 0; y 0);

Типовой расчет по теме "Двойные интегралы"

Вариант 1

1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования

2

4

dy f (x;y)dx.

0

y 2

2. Выч сл ть:

1

1

1) dy (6xy2

2)dx;

0

1

3

25 x2

2

dy;

2) dx

y3

0

1

3) (cos2x sin y)dxdy, где D: x 0; y 0;

4x 4y ;

D

4)

2xdxdy, где D : y x2; y 4;x 0; y 6;

D

5)

x2 y2

где

y

dxdy,

D

D : x2 y2 4;

у

6) xdxdy

, где

D x2 y2

D : x2 y2 6x .

хх

3. Вычислить массу матери-

СибАДИ

альной

пластины

плотностью

Рис. 32

(x, y) x y ,

если она ограни-

чена линиями (рис. 32)

С

2

2 y

dy

f (x;y)dx.

2

y

2

1

2. Выч сл ть:

4

1

2

и

1) dy

(2x y2

1)dx;

1

0

2

2x x

2) dx

y2

dy;

1

2

x

3) xdxdy,

где D :треугольник с вершинами в точках

D

O(0,0),A(1,1),B(0,1) ;

4)

dxdy

, где

D :y x2;

y x 6;

D

y

Д

2

2

бx y А2 2 2 2

5)

dxdy, где D

: x

y

2y;x y 4y;

D

y

6)

dxdy

, где D :x2

y2

9; x 0; y x; четверть .

D

16 x2 y2

И

уу

3. Вычислить массу материаль-

ной

пластины

плотностью

(x, y) x y , если она

ограничена

линиями (рис. 33)

D:x 1;y 3;y 1;x y 6.

хх