Материал: 2276

теграла второго рода сводится к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Так как скалярное произведение обладает свойством линейности, а поверхностный интеграл первого рода также линеен и, кроме того, аддитивен, то из формулы (4.10) следует, что Иповерхностный интеграл второго рода обладает свойствами линейности и аддитивности.

§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)

Вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Укажем, например, способ вычисления интеграла

Z x; y;z cos dS.

S

Будем считать, что γ – острый угол между осью 0z и нормалью n P . Пусть поверхность S такова, что всякая прямая, параллельная

161

оси 0z, пересекает ее в одной точке. Тогда неявное уравнение поверхности F x, y,z 0 можно разрешить относительно переменной z, т. е. записать в виде

z f x, y .

f2 x, y,z y f x,z .

162

Так как

ху

163

Здесь x у,z ; y x,z :z x, y – выражения, полученные из уравне-

ния поверхности S разрешением его относительно соответствующей переменной.

Замечание. В каждой точке поверхности S можно провести две единичные нормали: внешнюю и внутреннюю. Направления этих нормалей противоположны, поэтому если для внешней нормали, например, cos 0, то для внутренней нормали будет cos 0. Поэто-

му переход к другой стороне поверхности меняет знак поверхност-

постоянный знак, не зависящий от координат точки, в которой она проведена. При этом внешняя нормаль к данному параболоиду обра-

164

z

1

nn

СибАДИx 001z xz x yРис. 111 01z yz y так как интегралы по yz и yz , а также по xz и xz взаимно уничто-

жаются, а d S по свойству определенного интеграла.

ху

§5. Формула Гаусса – Остроградского

Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула устанавливает связь между тройным интегралом по замкнутой области V интегралом второго рода по замкнутой поверхности S, которая ограничивает эту область.

Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью σ и проектирующаяся на плоскость Оху в правильную двухмерную область D. Предположим, что поверхность σ можно разбить на три части σ1, σ2 и σ3 так, что уравнения первых двух имеют вид z = fl (х, у) и z = f2 (x, у), где f1(x, у) и f2 (x, у) – функции, непрерывные в области D, а третья часть σ3 есть цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси 0z.

165