Материал: 2276

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Затем рассматриваются случаи, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными другим координатным осям.

Далее полученные результаты обобщаются, приводя к формуле

Гаусса – Остроградского:

Хdydz Ydzdx Zdxdy

X(x, y,z)

Y(x, y,z)

Z(x, y,z)

(4.16)

dxdydz

Отмет м,

что эта формула применима для вычисления поверх-

ностных

нтегралов по замкнутой поверхности.

На практ ке формулу Гаусса – Остроградского можно приме-

нять для выч

слен

я о ъема тел,

если известна поверхность, ограни-

чивающая это тело.

выч слен

пользуются формулой

При

V xdydz ydxdz zdxdy dxdydz.

Пример 4. Найти формулу вычисления объема шара.

Решение. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны

плоскости х0у) получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид x2 y2

R2.

Найти объем шара можно по формуле

бА

R2 x2

y2 dy

dzdydx 8 dx

R2 x2

R2 x2 y2

R2 x2

R y

R2 x2 y2

arcsin

Дdx

R R2 x2

4 R

dx 2 R

Для решения этой же задачи можно воспользоватьсяИпреобразо-

ванием интеграла к сферическим координатам. Это значительно уп-

ростит интегрирование.

4 R3

V d 2 d 2 sin d 2 d

sin d

2R3d

166

Отметим, что эта формула справедлива для любой области, которая может быть разбита на области, удовлетворяющие условиям, указанным в начале этого параграфа.

Дадим гидромеханическую интерпретацию полученной выше

формулы.
С		; yi;zi i Y xi; yi;zi j Z xi; yi;zi k есть
Пусть вектор F Х xi		; yi;zi i Y xi; yi;zi j Z xi; yi;zi k есть
вектор скорости жидкости, протекающей через область V. Тогда инте-
грал по поверхности, стоящей в формуле (4.16), есть интеграл от про-
екции вектора F на внешнюю нормаль n,				он дает количество жидко-
интеграл
сти, вытекающей	з области	V через поверхность S в единицу време-
ни (или втекающей в область V, если этот интеграл отрицателен). Это
количество выражается через тройной интеграл от divF.
	X(x, y,z)		Y(x, y,z)	Z(x, y,z)
любой
Если divF	x		y	z	0, то двойной
по	замкнутой поверхности равен нулю, т. е. количе-
ство вытекающей ( ли втекающей) через любую замкнутую поверх-
ность S ж дкости	удет равно нулю (отсутствуют источники). Точнее
	А
говоря, количество жидкости, втекающей внутрь области, равно ко-
личеству жидкости, вытекающей из этой области.
В векторной форме формула Гаусса – Остроградского имеет вид
	divFdV F,n dS
	V		S

и читается так: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему, равен потоку вектора через по-

верхность, ограничивающую данный объем.
Пример	5.	Найти	поток	векторного	поля
F (y x)i (x y) j yk				И
F (y x)i (x y) j yk		черезДсторону треугольника S, вырезанно-

го из плоскости x y z 1 0 координатными плоскостями. Решение. Все координаты нормали к плоскости x y z 1 0

имеют постоянный положительный знак, не зависящий от координат точки, в которой она проведена. При этом внешняя нормаль к данному треугольнику образует острые угол с осью 0z, 0у и 0х (рис. 112), то есть cos 0; cos 0 и cos 0.

167

			Проекции ху,									уz и zx –										z
треугольники,										ограниченные																x+y+z=1
треугольники,										ограниченные																х+у+z =1
прямыми (см. рис.112)															и осями					z=1–y
координат.																				z	= 1–у					z=z1=–1–х	x
координат.																										z=z1=–1–х	x
П F,n ds (y x)dydz
		S							S											yу							х
(x y)dxdz ydxdy																				yу						y
1		1 y																								у = 1–zх= 1 х
dy (y y z 1)dz																										Рис. 112
0			0																							Рис. 112
0			0																					Рис. 1Р12
С																								Рис. 1Р12
1		1 z
dz (x 1 z x)dx
0			0
1		1 x					1		2yz z				2			1 y			1		1 z	1	y		2	1 x
dx ydy									2yz z					z					x zx				y
и																			0		0	0 2 0
0			0				0					2					0		0		0	0 2 0
1		2y 2y2 1								y y				2						1
		2y 2y2 1								y y					1 y dy 1 z z z2 dz
								2					2
0								2					2							0
1 1			x			x2				1				3y2		2y				1		z	2			z3 1
		2	x			2	dx								2	2y				dy z		z
0		2				2				0					2					2						3 0
				2			3		1					3						1
						бА
x x					x					y					y		2	y		1 1		1
	2 2					6		0			2							2	0			3
1 1 1 1 1 1 3 1.																			Д
2			2		6			2				2			6		2

										Задачи для решения в аудитории
			1.		Вычислить										4							И
			1.		Вычислить										3	у 2х z dS,					где		S			– часть плоскости
													S		3
х у z 1, заключенная в первом октанте.
2		3		4
																			168

2. Вычислить хуzdS, где S – часть плоскости x y z 1, за-

ключенная в первом октанте.

3. Найти ydS, где S – полусфера z R2 x2 y2 .

zdxdy,

где

S –

внешняя

сторона сферы

Найти

x2 y2 z2 R2.

Найти

х2dydz y2dzdx z2dxdy, где S –

внешняя сторона

Найти

поверхности сферы x2 y2

z2 R2.

хzdydz yxdzdx zydxdy, где S – внешняя сторона пи-

рамиды, составленной плоскостями x 0; y 0;z 0;x y z 1.

хcos ycos zcos dS, где S – поверхность эл-

липсо да x2 y2

, где

0 z b.

Вычислить

х2dydz y2dzdx z2dxdy,

где S – поверхность

конуса

R2.

бАОтветы

1. 4 61. 2.

. 3. 0. 4.

. 5.

0. 6.

Д. 7. a b . 8. 4 abc.

1.Как определяется поверхностный интегралИпервого рода?

2.Приведите способы его вычисления.

3.Приведите свойства поверхностного интеграла первого рода.

4.Какие приложения поверхностного интеграла первого рода вы

знаете?

5.Как определяется поверхностный интеграл второго рода?

6.Приведите свойства поверхностного интеграла второго рода.

7.Какие вы знаете способы его вычисления?

169

8.В чём заключается физический смысл поверхностного интеграла второго рода?

9.Приведите формулу Гаусса – Остроградского.

10.Приведите гидромеханическую интерпретацию формулы Гаусса – Остроградского.

СБиблиографический список

1.Журбенко, Л. Н. Математика : учебное пособие / Л. Н. Жур-

бенко, Ю. М. Дан лов [и др.].– М. : ИНФРА-М, 2016. – 496 с. изд2. Бугров, Я. С. Высшая математика в 3 т. Т. 3. Дифференциальные уравнен я. Кратные интегралы : учебник / Я. С. Бугров. – 7-е .– М : Юрайт, 2018. – 288 с. – ISBN 978-5-9916-8643-3.

3.Руппельб, Е.Ю. Задачник - практикум по математике : учебное пособ е / Е.Ю. Руппель, Т.Е. Болдовская, С.В. Матвеева. – Омск : Си-

бАДИ, 2013. – Ч. 2. – 116 с.

4.Болдовская, Т.Е, Задачник - практикум по математике : учеб-

ное пособ е / Т.Е. Болдовская, С.В. Матвеева, Е.Ю. Руппель. – Омск :

СибАДИ, 2013. – Ч. 2.А– 115 с.

5.Карасёва, Р.Б. Математика [Электронный ресурс]: практикум для студентов технических направлений заочной формы обучения /

Р. Б. Карасева, С. В. Матвеева, Е. Ю. Руппель – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2016. Д– Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd94.pdf. – Загл. с экрана (дата обращения к ресурсу: 12.04.18). – ISBN 978-5-93204-862-7.

6.Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики : учебное

пособие / Б. П. Демидович, В. . Кудрявцев. – М. : Астрель, 2008. – 654с. И

7.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов.– М. : Интеграл-пресс, 2006.– Т.1,2.

8.Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мыш-

кис.– М. : Лань, 2007.– 688 с.

9.Владимирский, Б.М. Математика. Общий курс : учебник/ Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. − 2-е изд.,

испр. и доп. – СПб. : Изд-во «Лань», 2008. – 960 с.

170

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET