Материал: 2276

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

кости, ее разбивают на гладкие части, однозначно проектирующиеся на одну из координатных плоскостей, а интеграл (4.1) разобьется на сумму интегралов по этим частям.

Пример 1. Вычислить

 

х2

у2

dS, где S – часть конической

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расположенной

 

 

между

 

 

плоскостями

поверхности

z2 х2 у2 ,

 

 

 

 

 

z 0и z 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Решение. Из уравнения данной поверхности находим, что для

рассматриваемой части z

 

х

у

и проекцией её на плоскость х0у

является круг

х2 у2 4,

 

так как проецируется та часть плоскости

z 2,

которая

вырезается

 

из

неё

 

 

конической

 

 

поверхностью

(рис. 107). Найдем частные производные:

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zх'

х2 у2 х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, z

'у

х2 у2 х

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 у2

 

 

 

 

х2 у2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

2

 

 

 

 

у

 

 

 

2

 

 

2

у

2

 

1 z' 2 z' 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 х

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

y

 

 

 

 

 

х

2

 

у

2

 

 

х

2

у

2

 

 

х

2

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому по формуле (4.3) имеем

156

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

у2

dS

 

2

 

 

х2 у2 dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученный двойной интеграл удобно находить в полярной

 

системе координат. Введем полярные координаты. Уравнение окруж-

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ности в полярных координатах примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rcos 2

rsin 2

4;

r2 cos2 r2 sin2 4;

 

r2 1 4

 

или

 

окончательно

 

меем r 2.

Следовательно, r изменяется в границах

 

0 r 2, а для угла φ получим 0 2 . С учетом полученных гра-

 

ниц

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

8 2

 

 

 

 

 

16 2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

3

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

х

 

у

 

dxdy

2

r

 

dr d

 

 

 

 

r

 

 

 

0d

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр мер 2.

Выч слить

 

1 х z 2

dS, где S

– часть плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х у z 1, заключенная в первом октанте (рис. 108).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Запишем

уравнение

 

данной

плоскости

 

 

в

 

виде

 

z 1 х у.

 

Так

как

'

 

1 х

 

 

 

1;

 

z

'

 

 

 

 

 

 

 

 

1, то

 

 

zх

у х

 

у 1 х у у

 

получим

1 zx' 2 z'y 2 1 1 2 1 2 3.

157

Поэтому по формуле (4.3) имеем

 

1

dS

1

 

 

d

 

 

1

d .

 

 

3

3

1 х z 2

1 х 1 х у 2

2 у 2

S

 

 

 

 

 

 

 

Проекцией S на плоскость х0у является треугольник σ, ограниченный прямыми х+у= 1; х = 0; у = 0. В этом треугольнике х меняется от 0 до 1, а при каждом фиксированном х ордината меняется от у = 0

до у 1 х.

 

учетом полученных границ имеем двойной интеграл

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 x

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1 x

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

d

3

 

 

 

 

 

 

 

 

dy dx

3

 

 

 

2 у

 

dy

dx

С2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2

у

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

2 у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

у

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

3

 

 

 

 

 

dx

 

3 ln1 x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

0

1 x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ln2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)

Пусть в прямоугольной системе координат 0хуz задана некоторая область V. Пусть в области V задана поверхность S, ограниченная

некоторой пространственной линией L.

 

 

 

Относительно поверхности S будем предполагать, что в каждой

ее точке Р

И

определяется положительное направление нормали еди-

ничным вектором n P , направляющиеДкосинусы которого являются

непрерывными функциями координат точек поверхности.

 

Пусть в каждой точке поверхности определен вектор

 

 

 

 

F Р Х x; y;z i Y x; y;z j Z x; y;z k ,

 

где X, Y, Z – непрерывные функции координат.

 

 

 

Разобьем эту поверхность на элементарные части Si,i 1,...,n.

В

каждой

элементарной части Si выберем

по

одной точке

Ρ

х ; у

;z

и умножим скалярное произведение

F Р ,n P в этой

i

i i

i

 

 

i

i

точке на площадь Si элементарной части. Рассмотрим сумму

158

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(4.4)

 

 

 

 

 

 

 

F Ρ ,n P S

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через d Si

диаметр элементарной области Si , т. е.

расстояние

между

наиболее

удаленными

точками

этой

части;

d maxd Si

– наибольший из диаметров всех элементарных областей

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данного разбиения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел суммы (4.4), распространенный на все области Si , при

стремлен

 

к нулю д аметров всех таких площадок называется по-

верхностным нтегралом

 

обозначается символом

 

 

 

С

 

 

 

 

F,n dS .

 

 

 

 

 

 

(4.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так м

 

 

 

, по определению,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

F Ρi

,n Pi Si .

 

(4.6)

 

 

 

 

F

,n dS

 

 

lim

 

 

 

 

 

S

 

 

n

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждое слагаемое суммы (4.4) по определению скалярного про-

изведения, равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образом

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

F Ρ ,n P S

i

F Ρ n P cos F ,n

,

(4.7)

где cos F,n

S

 

i

i

 

 

 

i

 

i

 

 

i

i

i

 

 

i

– косинус угла между единичным вектором нормали

i

i

 

 

А

j Z xi;

yi;zi k ,

n Pi и

вектором

F Рi

 

Х

xi

; yi

;zi i

Y xi

; yi

;zi

Если поверхность S такова, чтоДв каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки Р по поверхности, и если векторная функция F Р непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует (эту теорему существования интеграла по поверхности мы принимаем без доказательст-

рассмотренными в точке Pi .

ва).

Рассмотрим задачу о вычислении потока жидкости через задан-

 

 

И

ную поверхность S, в каждой точке которой Р определён вектор ско-

рости течения жидкости F Р , зависящий от положения точки Р и не зависящий от времени. Решение этой задачи приводит к понятию поверхностного интеграла второго рода, рассмотренного раннее. Потоком жидкости через заданную поверхность S называется количество жидкости, протекающей через S за единицу времени.

159

Каждое

слагаемое (4.4)

может

 

 

быть истолковано механически сле-

 

 

дующим образом: это произведение

 

 

равно объему цилиндра с основанием

F Pi

 

Si и высотой

 

F Ρi cos Fi,ni ). Если

n

 

вектор F Ρi есть скорость жидкости,

i

 

h

 

протекающей через поверхность S, то

 

 

произведен е (4.7) равно количеству

 

 

жидкости, протекающей через пло-

ΔSi

 

щадку Si

за ед н цу времени в на-

 

Справлен вектора

ni

n Pi

 

 

(рис. 109).

 

 

F,n dSпредстав-

 

 

Выражен

Рис. 109

 

ляет собой

 

S

 

жидкости,

протекающей в единицу

 

 

 

количество

 

 

 

 

времени через поверхность

S в положительном направлении вектора

n Pi , если под вектором F Р

подразумевать вектор скорости тече-

ния жидкости в данной точке.

 

 

 

 

Поэтомуобщееповерхностный

z

ni

интеграл (4.6) называется пото-

 

 

 

 

 

ком векторного поля F Р

через

 

ΔSxyi

ni

поверхность S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из определенияАповерхно-

 

стного интеграла следует, что ес-

 

 

 

ли поверхность S разбить на час-

 

 

 

ти S1, S2, ..., Sк, то интеграл по по-

 

 

 

верхности

S

равен сумме

инте-

 

 

 

гралов по сегментам Si.

 

ДΔσxyi

yу

 

 

 

 

Выразим единичный вектор

x

 

n P через его проекции на оси

 

 

 

координат:

 

 

 

 

 

Рис. 110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

n Р cos n,x i cos n, y j cos n,z k (cos ;cos ;cos )

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

где cos ,cos ,cos – направляющие косинусы единичного вектора

n P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

160

 

 

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET