Материал: 2276

5. Теорема о среднем. Пусть – связная ограниченная область

С

непрерывна на замыкании области . То-

и пусть функц я f (x, y)

гда существует точка ; , для которой выполнено равенство

f x; y dxdy f ;

.

и

бА

у

у

Д

х

у

Рис. 2

Рис. 3

Область на плоскости x0y назовем простой областью:

1) относительно оси 0x, если она ограничена сверху линией

y x , снизу y x [функции (x) и

Иx непрерывны] и с бо-

2) относительно оси

0y , если она ограничена слева линией

x 1 y , справа x 1 y

[функции 1 y и 1 y непрерывны] и

у

у

С

у

и

х

х

х

х

бА

Р с. 4

Рис. 5

Пусть матер альная

о ласть

ограничена снизу

кривой

y x , сверху – кр

вой y x , с боков – прямыми x a

и x b

(рис. 5), т.е. является простой о ластью вида 1 относительно оси 0x.

Пусть далее функция

f x;y выражает плотность (т.е. «концентра-

цию массы») в точке x;y . Для некоторого x значения выделим ма-

териальный отрезок от точки x; x

до точки x; x и вычислим

массу m x , сконцентрированную на этом отрезке, по формуле

Д

x

m x f x;y dy .

x

Далее, спроектируем нашу материальную пластинку на ось 0x,

И

получим материальный отрезок a;b , плотность которого в каждой

точке x будет выражаться функцией m x . Следовательно, масса это-

го отрезка и всей области будет

b

b x

b

x

m m x dx

f x; y dy

(1.6)

dx dx f x; y dy.

a

a x

a

x

Таким образом, для вычисления двойного интеграла от функции

f x;y

по области получим следующую формулу,

сводящую ее

вычисление к повторному интегралу:

b x

b x

(1.7)

f x;y dxdy

f x;y dy dx dx f x;y dy.

a x

a x

С

Заметим, что в случае вы-

числения объема цилиндрических

тел

интеграл

x

дает

f x;y dy

x

площадь S x поперечного сече-

ния нашего тела (рис. 6), следова-

тельно, весь объем V будет

и b

b x

V

S x dx

x;y dy

f

dx

a

a x

b

x

1.8

Рис. 6

dx f x;y dy.

a

x

Если же область есть про-

стая область вида 2, то всякая прямая, параллельная оси 0x и прохо-

дящая

внутри отрезка

a;b , пересекает

границу в

двух точках:

1

y ;y ибАy ; y (рис. 7). интеграл по такой области вы-

1

числяется по формуле

d

1 y

(1.9)

f x; y dxdy dy

f x; y dx .

c

1 y

Двойной

Наиболее простой вид формулы (1.8) и (1.9) принимают в случае

прямоугольной области

,

ограниченной

прямыми

x a;

x b;

y c;

y d (рис. 8):

И

f x; y dxdy

d

b

dy f x; y dx .

(1.10)

у у

у

у

СР с. 7

хх

хх

Рис. 8

ледует замет ть,

что если

не является простой об-

ластью, то ее раз

вают на конечное число простых областей 1, 2 ,

…,привыч слен и двойного интеграла по области исполь-

n

зуют третье свойство двойного интеграла.

Пример 1. Изменить поря-

док интегрирования в интеграле

область

1

2х

y

y 2x

dх f x; y dу .

0

х2

А

2

Решение. Обратим внима-

y x

ние на то, что задан не двойной, а

2

B

повторный

интеграл,

порядок

1

A

интегрирования

в

котором

уже

определен,

из чего

следует, что

x

2

Д

y x

–

уравнение линии,

огра-

0

1

2

ничивающей область σ снизу, а

Рис. 9

y 2x

уравнение

линии,

огра-

ничивающей область σ сверху, а x 0,1 . Зная это, можно восстано-

И

вить пока неизвестную область интегрирования

(рис. 9).

По условию, нужно изменить порядок интегрирования, то есть

вычислить внутренний интеграл по dx, а внешний – по dy. Чтобы не

ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести

вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать об-

ласть параллельно оси 0X .Для таких прямых, как видно из рис. 9, од-

х

( у х2 ), а слева однойх

у

( у 2х).

у

СибАДИ

2

Найдемкоорд натыточекпересечениялиний,ограничивающих :

у х2

А 1,1 ;

у 2х

.

х 1

В 1,2

х 1

Поэтому прямой y=1 раз иваем ее на две области второго типа:

1

2 .

Итак,

1

2х

dx f (x; y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy

0

х2

1

2

1

у

2

1

dy

f (x; y)dx dy f (x; y)dx.

(1.11)

0

у

1

у

2

2

Таким образом,

при вычислении двойного интеграла по данной

области

(см. рис. 9) первоначальный порядок интегрирования яв-

ляется более оптимальным, приводит к одному повторному интегра-

лу.

Заметим, что обе части равенства (1.11) соответствуют одному

двойному интегралу, хотя в правой части формулы (1.11) – два по-

вторных интеграла.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

2

1 x2

y

5

dx

f (x; y)dy.