Материал: 2276

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

линии. Разрешаем уравнение дуги гиперболы y 1 х2 относитель-

но абсциссы x y2 1. Чтобы не ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать область параллельно оси 0Х. Для таких

прямых, как видно из рис. 10, две линии входа в область и одна линия
СибАДИ
выхода, поэтому двойной интеграл сведется не к одному, а к двум по-
вторным	нтегралам (в соответствии со свойством аддитивности
двойного	нтеграла 3). Таким образом, область интегрирования не
принадлеж т ко второму типу, т.к. слева ограничена двумя различ-
ными л н ями x=0		y		1 х2	. Поэтому прямой y=1 разбиваем ее
на две области второго типа: 1 и 2 . Тогда
2	1 х2
dx	f (x;y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x;y)dxdy
0	0				1	2
1	2		5	2
dy f (x; y)dx		dy		f (x; y)dx.
0	0	1		y2 1

На основании рассмотренных выше примеров можно выделить основные этапы при решении таких задач:

1.1. Для изменения порядка интегрирования в повторном интеграле вначале нужно восстановить область, на которую распространен этот интеграл, перейти к двойному интегралу, затем от двойного перейти к одному или нескольким повторным интегралам с другим порядком интегрирования.

1.2. Для восстановления области интегрирования, на которую распространен повторный интеграл, поступают следующим образом. Если задан интеграл

b x

dx f x;y dy,

a x

то сначала строят вертикальные прямые х=а; х=b. Затем по пределам внутреннего интеграла x и x записывают уравнения нижней и верхней границ области интегрирования: y x ;y x . Строят эти линии до пересечения с прямыми х=а и х=b. Построенные линии ограничивают область интегрирования для двойного интеграла. Для интеграла

		d	1 y
		dy	f x; y dx
		c 1 y
строят сначала горизонтальные прямые у=с; y=d, а затем по пределам
интегрирования интеграла 1 у				и 1 у находят уравнения левой и
правой границ области х 1 у				и х 1 у и строят линии, опреде-
ляемые этими уравнениями. Построенные линии ограничивают об-
ласть	нтегр рован я. Если две области интегрирования имеют об-
щую гран цу, то х можно объединить в одну область и интегрирова-
писывают
ние вести по этой области.
С1.3. Полученную о ласть в случае необходимости разбивают на
части так, чтобы они		ыли правильны по соответствующей перемен-
ной,	способом
	уравнен я каждой границы любой части можно было описать
одной формулой. Затем для каждой части области интегрирования за-
	повторный	нтеграл			, указанным ниже.
	1.4. В случае, если внешний интеграл берется по переменной х, а
внутренн й – по переменной у,				ласть интегрирования проецируют
	А

на ось 0х; при этом левый и правый концы полученного отрезка дадут соответственно нижний и верхний пределы интегрирования по х. За-

тем мысленно проводят прямые, параллельные оси 0у через точки области интегрирования. Линия, через которую эти прямые входят в область интегрирования, будет нижней границей области, а через которую выходят - верхней границей. Уравнения этих границ представляют соответственно в виде y x ; y x . Тогда x и x – соответственнонижнийиверхнийпределыинтегрированияпообласти .

уравнениями границ области интегрированияД. Потому, как правило, чем проще уравнения границ, тем проще вычисления интегралов. В разных системах координат уравнение

Пределы интегрирования в повторном интеграле определяются

одной и той же линии имеет различный
одной и той же линии имеет различный			у
вид.			у
Пример 3. Вычислить двойной ин-
Пример 3. Вычислить двойной ин-				И
теграл	x	dxdy, если область ограничена		И
теграл		dxdy, если область ограничена
	y

параболами y x2 и x y2 (рис. 11). Решение. Область (см. рис. 11)

– простая (вида 1). Она ограничена снизу

Рис. 11

кривой x x2, сверху – кривой x y2, т.е. y x или x x2 (перед радикалом ставим только знак «+», так как область нахо-

дится в I квадранте,

где y 0); при любом фиксированном значении

x из отрезка 0;1

меняется от

y x2

до y

. Поэтому по фор-

муле (1.9) при f x; y

имеем

СибАДИ

0 x2

x ln

x ln x2 dx x

ln x 2lnx

dx x

ln xdx

2 dx

xln xdx

lnx|

x2 1

3 1 3

1 ln1

xdx

2 2

2 0

4 2 8

Замечание. Интеграл xlnxdx взят методом интегрирования по

частям, причем при подстановке нижнего предела использовался тот

факт, что

lnx

limx2 lnx lim

lim

lnx

lim

x 0

x 0 1

x 0

lim

limx2 1 0 0.

x 0 2x

2 x 0

Пример 4. Вычислить двойной

интеграл

dxdy,

если область ог-

раничена

слева

кривойx 2 sin y,

справа

–

прямой

x 0

и с

боков –

прямыми y 0;

y 2 .

Решение.

Область

(рис. 12)

является простой (вида 2). При любом

		фиксированном y из отрезка 0;2	x
	х	фиксированном y из отрезка 0;2	x
	х

Рис. 12

меняется от x 0 до x 2 sin y. Поэтому по формуле (1.9) имеем

x		2 2 siny x				2 x2 2 siny				2 2 siny 2
	dxdy				dx dy			\|	dy			dy
2				2							4
		0	0			0	4 0			0

С																2						1 cos2y
				2 4 4sin y sin2 y												2						1 cos2y
								4						dy			1 sin y						4 2				dy
				0				4									0						4 2
		2				1				cos2y								92			2				12

и														dy						dy	sin ydy						cos2ydy
				1	8		sin y				8			dy						dy	sin ydy						cos2ydy
		0			8						8						8 0				0			8 0
		9	y\|2		cosy			\|2		1	sin t\|4								9	2 0 cos2 cos0
	8			бА1
	8			0				0	16					0			8
	1			sin4 sin0							9	2 1 1									1	0 0		9		.
	16										8		2							16				4
Замечание. Интеграл														cos2ydy взят методом													подстановки
														0	1
t 2y,		тогда dt 2dy							или dy						1	dt. При изменении										y	от 0 до 2 t
t 2y,		тогда dt 2dy							или dy							dt. При изменении										y	от 0 до 2 t
														2
меняется от 0 до 4 . Следовательно,
									2						Д
									2											4
										cos2ydy										costdt.
									0								2			0		И
																						И

Задачи для решения в аудитории (видео 1)

1. Изменить порядок интегрирования в интеграле

1 5х

dх f (x; y)dу.

2х

2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

1 у

f (x; y)dx.

1 y2

3. Измен ть порядок интегрирования в интеграле

dy f (x; y)dx.

4. Измен ть порядок интегрирования в интеграле

dx f (x; y)dy.

5. Выч сл ть (x y)dxdy, где σ ограничена линиями y=x2+1;

y=9 – x2.

Вычислить

(x2 y2)dxdy

по параллелограмму,

ограничен-

ному прямыми у=х; y=0; y=2; у=х – 2.

бА

Вычислить

(x2 y)dxdy,

где σ ограничена линиями y=x2;

y2=х.

Вычислить

xcos(x

y) dxdy,

где

ограничена

линиями

y=0; y=x; х = π.

Ответы

1. 2

1 x

1 х

dу f (x; y)dх dу f (x; y)dх .

f (x; y)dy dx f (x; y)dy .

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET