Материал: 2276

Пример 3. Вычислить двойной

y

интеграл

x2 y2

9dxdy, если

об-

ласть ограничена линиями – дугами

окружности

x2 y2 9

x2 y2 25

(рис. 18).

Решение. Так как область интег-

3

0

х

5

рирован я является кольцом с центром

в точке О(0;0) (р с. 18), то введём по-

лярные коорд наты.

СТогда уравнен

я

окружностей

в

д rcos 2

rsin 2

9;

Рис. 18

r2 cos2 sin2 9;

r2 9; r 3;

2

2

2

2

примутr cos sin 25; r 25; r 5.

Проведя лучи, сходящие из полюса (начала координат), уви-

дим, что для них r 3

– линия входа, а r 5 – линия выхода, следо-

вательно,

r изменяется в границах

3 r 5.

Тогда по формуле (1.17) получаем

бА

x2

2 5

rcos 2

y2 9 dxdy

rsin 2 9rdr d

0 3

2

5

2

5

1

Д

2

r

2

2

r 9rdr d

9

rdr d

0 3

0

3

12 16

1

1

1

12 t

2

12

64

0

16

t2 dt d

|

d

Иd

2

1

0

0

2 0

0

2 0 1,5

1,5

1

2

1

128

2

64

128

2

d

|0

.

2

3

3

3

0

ограничена верхней половиной дуги окружности x2 y2

ax и от-

резком оси 0x от точки с абсциссой,

равной 0, до точки с абсциссой,

равной a (рис. 19).

Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение ок-

ружности примет вид

rcos 2

rsin 2

arcos ;

r2 cos2 r2 sin2 arcos ;

у

r2 cos2 sin2 arcos ;

r2 1 arcos или окончательно имеем

С r acos .

Проведя лучи, исходящие из по-

бА

х

люса, увидим, что для них r 0 – линия

входа,

а

r acos

–

линия выхода,

иследовательно,

r изменяется в границах

Рис. 19

0 r acos .

Найдем область определения этой

функции r. Так как, по определению,

r 0,

то

acos 0, то есть

. Верхняя часть дуги окружности лежит в первой четвер-

2

2

Д

ти, для которой меняется в пределах от 0 до

. По формуле (1.16)

2

acos

2

acos

2

r2dr

имеем ydxdy

rsin rdr d

sin

d

0

0

0

0

r3

a3 cos3

a3

2

acos

2

2

3

sin

|

d sin

d

cos

dcos

3

3

0

0

0

3

0

4

И

a

3

4

a

3 cos

4

a

3

4

4

a

3

cos

2

2

cos

0

0

1

.

4

|0

3

4

3

4

3

4 4

12

0 r

cos2 .

Вычислим

четвертую часть площади

0

1

r

фигуры, для которой дуга окружности лежит

в первой четверти, т. е. меняется в пределах

от 0 до

.

Рис. 20

4

cos2

4

cos 2

4 r2

4

S 4 dxdy 4

d 2 cos2 d

rdr d 4

0

0

0 2

0

0

sin

4

cos2 d 2 sin2

4

sin0 1.

0

0

2

Замечание. Отметим, что при вычислении двойного интеграла в

декартовых координатах о ласть интегрирования разбивалась на ма-

лые части линиями х const и

y const, параллельными координат-

ным осям; в полярной системе координат – лучами, исходящими из

полюса const,

окружностями r const.

Такие линии называют-

ся координатными линиями соответствующей системы координат.

Вдоль координатных линий одна из координат изменяется, вторая –

остается постоянной.

Вспомогательные линии при переходе к повторному интегралу

тоже должны быть координатными линиями, причем внутренний ин-

теграл имеет постоянные пределы интегрирования только тогда,

когда

ограничена координатными линиями.

СиЗадачибдля решенияАв аудиторииДИ(видео 2)

1.

Вычислить,

перейдя

к полярным

координатам,

интеграл

4 x2 y2dxdy, где область интегрирования : 1 x2+y2 4.

С

перейдя

к полярным

координатам, интеграл

3.

Вычислить,

arctg

y

dxdy,

где

ограничена линиями

x2 y2 1; x2

y2 9;

x

и

y

3

x

; y

1

x.

3

4.

бА

Выч сл ть

sin

x2 y2dxdy,

если

ограничена линиями

x2 y2 2; x2 y2 4 2.

5.

Выч сл ть

9 x2

y2

dxdy,

если

ограничена

линией

x2 y2

3х.

6.

Вычислить

x2 y2

dxdy, если

ограничена

линией

Д

x2 y2

2ах.

2

Ответы

2

4

2

32

3

3

1.

. 2.

. 3.

. 4.

6

. 5. 9 . 6.

а

.

5

6

9

И

§3. Приложения двойного интеграла

1. Вычисление объёма цилиндрического тела

Рассмотримзадачувычисленияобъемовцилиндрическихтел[3].

Пусть требуется вычислить объем тела, ограниченного сверху

непрерывной поверхностью z f x;y

f x;y 0 , снизу – конечной

замкнутой областью

плоскости 0xy

и с боков – цилиндрической

поверхностью,

построенной на границе области и имеющей обра-

Делим область на элемен-

z

тарные области i . В каждой i

выбираем по одной точке Ρi i;ni .

Тогда объем прямого элементарного

цилиндра, ограниченного сверху по-

верхностно z f x; y и снизу обла-

y

стью

i , приближенно равен

f ( i; i ) i , где

i – площадь

соответствующей элементарной

об-

х

ласти. Для объема всего нашего ци-

С