Материал: 2276

1 x2

1 x2

x2

x y dy

dx

x

dy

ydy dx

0

0

0

0

0

1

x2

y2

x

2

1

2

1

2

2

1

3

x4

xy|

|

0

dx x

x

x

dx

x

dx

0

0

2

0

2

2

0

С

x4

1 x5

1

3

1

1

4

1

1

1 1 1 1 1

3

x

dx

2

x

dx

|

2

|

4

2

4

.

0

0

4

0

5

0

5

10

20

лоидом

Пр мер 2. Выч слить объем тела, ограниченного плоскостью

z 0

параболо

дом z 3 x2

y2 (рис. 23).

Решен е. Сверху данное тело (см. рис. 23) ограничено парабо-

z 3 x2

y2 , поэтому,

воспользовавшись формулой (1.20)

бАz

для выч слен я о ъема цилиндрического тела, ограниченного плос-

костью плоскости x0y, имеем

V f x, y dxdy 3 x2

y2 dxdy.

Область (рис. 24) есть круг, его границу получим подстанов-

кой z 0

в уравнение z 3 x2

y2. Введем полярные координаты.

Д

y

И

x

y

x

Рис. 23

Рис. 24

Тогда

уравнение

окружности

примет

вид

rcos 2 rsin 2 3;

r2 cos2 sin2 3; r2

3;

r

. Угол

меняется от 0 до 2 .

3

V

rcos

2

3

2

2

3

rsin

4

rdr d

0

0

СибАДИ

cos

rdr

2

3

2

2

2

2

3

2

3 r

sin

3 r

rdr

d

d

0

0

0

0

r2

r4

2

3

3

2

3 rdr

r3dr d 3

| 3

| 3

d

0

0

2

0

4

0

0

0

2

4

2

3

3

2

9 9

9

2

9

9

3

2

4

d

d

d

|2

.

0

0 2 4

4 0

4

0

8

Используя эту формулу, получим выражение для вычисления

массы материальной двумерной пластинки D , если известна её плот-

ность (x; y).

m x; y dxdy.

D

Эта формула даёт возможность вычислить массу неоднородной

по поверхности плоской области (рис. 25).

Пр мер 3. Выч слить массу плоской пластины ограниченной

линиями x=0; y=0; y=1–x2, если ее плотность в каждой точке равна

абсциссе этой точки, (x; y) х(рис. 26).

у

Решение.

1

1 x

2

1 1 x

2

=yх

2

m xdxdy dx

xdy

х

dy dx

y=1-x

0

0

0

0

x=0

1

1 x2

1

2

1

3

dx

xy

dx

x1 x

dx x

x

σ

x

0

0

0

0

x2

x4 1

1 1 1

0 y=0

.

4

2

4

4

2

0

Рис. 26

Пример

уу

4. Вычислить массу пластинки, ограни-

ченной

прямой

y x

параболой

1

y x2

(рис. 27),

если

плотность

рас-

пределения массы выражается функци-

ей (x, y) x 2y.

у x2

Решение. Область интегрирова-

ния

ограничена

снизу

кривой

1

x x2 , сверху

–

кривой

x x.

хх

Спроецировав на

ось 0x,

получим

Рис. 27

отрезок 0;1 . Следовательно,

0 x 1.

СибАДИ

По формуле (1.8) при

1

x

1

x

x

m x 2y dxdy

x 2y dy

ydy

dx

x dy 2

0 x2

0 x2

x2

1

x

y

2

x

1

2

2

2

2

2

|

x

x

xy|

x

2

2

x

2 dx

x x x

dx

0

0

1

1

1

1

x2 x3 x2 x4 dx 2 x2dx x3dx x4dx

0

0

0

0

x3 1

x3

1

x5 1

2 1 1 2

2

|

|

|

.

3

0

3

0

5

0

3

3

5

15

С

3. Площадь плоской фигуры

Если в формуле для вычисления массы материальной двумерной

пластинки

D замен ть плотность на единицу,

то получим формулу

для выч слен я

плоской

D

площади

S dxdy.

D

Примеробласти5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной

линиями х=0; у=5; у=х2+1 (рис. 28).

y

Решение.

y=5

5

0

5

0

5

S dxdy

А

dx

dy

y

dx

σ

x=0

2

x2 1

2

x2 1

0

4

4x x

3

0

2

1

x

2 dx

y=x +1

3

Дx

2

2

( 2)3

16

-2

0

0

.

4( 2)

3

3

Рис. 28

Пример 6. Вычислить площадь плоской фигуры (рис. 29), огра-

ниченной линиями – дугами окружностей

И

Решение. Так

как

область интегрирования

является

кольцо

x2 y2

9м с центром в точке О(0;0)

(рис. 29), то введём полярные

координаты.

Тогда уравнения окружностей примут вид

rcos 2 rsin 2 9;

r2 cos2 sin2 9; r2 9;

r 3; rcos 2

rsin 2

1;

r2 cos2 sin2 1;

r2 1;

r 1.

С

Проведя

лучи, исходящие

из полюса (начала координат),

увидим, что для них r 1 – ли-

ния входа, а r 3 – линия выхо-

и

да, следовательно, r изменяется

Р с. 29

в границах 1 r 3.

Тогда по формуле (3.16) получаем

2 3

2 r

2

3

12

2

2

S dxdy rdr d

d

2

9 1 d 4 d 4 |0

8 .

0 1

0 2

1

0

0

4. Координаты центра тяжести плоской пластины D

бА

Пусть (x; y)

– плотность материальной двумерной пластинки

D , тогда координаты её центра тяжести вычисляются по формулам

x (x; y)dxdy

y (x; y)dxdy

Д

xc

;

yc

.

(1. 21)

(x; y)dxdy

(x; y)dxdy