Материал: 2276

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

СМинистерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

« ибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ)» и бЕ.Ю. Руппель

КРАТНЫЕА, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

УчебноеДпособие И

Омск • 2018

 

_____________________________

УДК 512

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации,

ББК 22.14

причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция

Р86

маркировке не подлежит.

_____________________________

 

 

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. В.Г. Шантаренко (ОмГУПС); канд. физ.-мат. наук, доц. О.Л. Курнявко (ОИВТ (филиал) СГУВТ)

СибАДИРабота утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособ я.

Руппель, Елена Юрьевна.

Р86 Кратные, кр вол нейные и поверхностные интегралы [Электронный

ресурс] : учебное

посо е / Е.Ю. Руппель. – Электрон. дан.

– Омск :

ибАДИ,

2018. – URL: http://bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/

 

cgiirbis 64

ft.exe. - Реж м доступа: для авторизованных пользователей.

Содерж т теорет ческий и справочный материалы по разделу «Кратные,

кривол нейные

поверхностные интегралы», необходимые

при обучении

студентов д сц пл ны «Математика». Рассмотрены примеры решения задач, а также представлены вопросы для самопроверки, контрольные работы и типовые расчеты.

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Содержит видеофрагменты о учающего и демонстрационного характера, которые воспроизводятся с помощью проигрывателя Windows Media.

Предназначено для студентов всех форм обучения экономических, технических, строительных направлений бакалавриата, специалитета и магистратуры. Также может быть использовано аспирантами преподавателями математики технических образовательных организаций при изучении данных разделов.

Подготовлено на кафедре «Высшая математика».

Мультимедийное издание (16 МБ)

Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ; 1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов :

Adobe Acrobat Reader ; Google Chrome ; Windows Media Player ; колонки

Редактор И.Г. Кузнецова

Техническая подготовка Н.В. Кенжалинова Издание первое. Дата подписания к использованию 27.06.2018

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2018

Ссылки на видео внутри работы кликабельны

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и,

насколько можно, простым.

Г. Лейбниц

Введение С

В средней школе мы знакомились с основами интегрального ис-

числен я его пр менением в решении практических задач. Цель

изучен я общего курса математики вузов состоит в том, чтобы углу- развиваютбить знан я по зученным разделам и ознакомиться с некоторыми новыми разделами математики, которые обогащают общую культуру,

лог ческое мышление и широко используются в математическом модел рован и задач, с которыми встречается современный

ВкаждомбАразделе изложены необходимые теоретические сведения, основные определения и формулы, достаточные для решения задач. Пособие составлено таким образомД, что наряду с теоретической частью содержит подробный разбор типовых задач, решение которых позволит читателю глубже понять и закрепить изученный материал. Предлагаются также задачи для самостоятельной работы, к которым

приведены ответы в конце каждого раздела. Предложенные в учебном пособии задачи для самостоятельной работыИмогут использоваться преподавателем для работы на практических занятиях, а также при подготовке к контрольной работе и итоговой форме контроля.

Вконце каждого раздела содержатся контрольная работа и задания для самостоятельного решения, которые являются заданиями по целому разделу курса. Задания выдаются по вариантам и являются индивидуальными для студента в каждой академической группе.

3

Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

 

§1. Определение двойного интеграла

 

 

 

y

 

Рассмотрим задачу о нахождении

σσ

массы

материальной двумерной

пла-

 

 

стинки

, если

известна

плотность

 

 

(x;y) в каждой

ее точке.

Разделим

 

 

данную область произвольным образом

 

σi

на n частей (рис. 1) P(x; y). В каждой

Pi

σi

элементарной

части i

выберем по

С

x

одной точке Ρi i;ni и вычислим плот-

 

 

ность i;ni

в точке Ρi .

Тогда масса

Р с. 1

 

элементарной

пластинки

части

i

ипри лиженно будет равна i;ni i.

Для массы всей пластинки получаем

 

 

 

 

 

 

m i;ni i .

 

 

 

(1.1)

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Приближение (1.1) удет тем точнее, чем мельче будет разбие-

ние области на элементарные части, т.е. чем меньше будет наи-

большее расстояние между произвольными точками любой элемен-

бА

 

 

 

тарной области i

. Следовательно, можно принять, что

 

 

 

 

m lim i;ni i ,

 

 

 

(1.2)

 

 

0 i

 

 

 

 

 

 

где наибольший из диаметровДэлементарных частей (диаметр

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i – это наибольшее расстояние между произвольными ее точками).

Необходимость рассмотрения выражения вида (1.1) и предела

(1.2) возникает при решении многих других физических и геометри-

ческих задач. В связи с этим дается следующее определение. Пусть

 

 

 

 

И

функция f x; y определена в некоторой области . Делим область

на n элементарных частей i . В каждой части i

выбираем по

одной точке Ρi i;ni и составляем выражение

 

 

 

 

 

Sn

f i;ni i .

 

 

 

(1.3)

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Определение 1. Выражение вида (1.3) называется интегральной суммой для функции f x; y в области .

Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей i при разбиении области .

 

Определение 2. Если существует предел

 

 

 

 

 

 

 

S lim f i;ni i

,

 

 

(1.4)

 

 

 

 

0 i

 

 

 

 

 

 

который не зав с т

от способа деления области

на части i и

выбора точек Ρi i;ni , то этот предел называется двойным интегра-

С

 

ласти и обозначается f

x;y d , или

лом от функц

f x; y по

f x; y dxdy.

 

f x; y

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

называется подынтегральной функцией;

 

– областью

нтегр

; x и y – переменными интегрирова-

 

рования

 

 

 

 

 

 

ния; d ( ли dxdy) – элементом площади.

 

 

 

 

 

 

 

Так м

, по определению,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x;y dxdy lim f

;n

 

i

.

(1.5)

 

образом

i

i

 

 

 

 

 

 

 

0 i

 

 

 

 

 

 

 

Функция

f x;y называется интегрируемой в области . Вся-

кая непрерывная в

ограниченной замкнутой

области

функции

 

 

 

А

 

 

 

f x;y интегрируется в ней. В дальнейшем мы ограничимся рас-

 

 

 

 

Д

смотрением только непрерывных функций.

Двойной интеграл обладает следующими простейшими свойст-

вами [1]:

 

 

И

 

 

 

 

 

1.

f x; y dxdy C f x; y dxdy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 x; y dxdy.

2.

f1 x; y f2 x; y dxdy f1 x; y dxdy

 

 

 

 

 

 

 

3. Если область состоит из двух областей 1

и 2 , то

 

f x; y dxdy

f1 x; y dxdy

f2 x; y dxdy.

 

 

1

 

2

 

 

5

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET