Материал: 2276

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

довательно,											0 x 1.								По формулам для вы-																						y
числения массы плоской пластинки и форму-																																													y=1 – x2
ле (1.6) при											f x; y x; y const полу-																																		y=1 – x2
чим выражение																							1 1 x2
												1			1 x2								1 1 x2																	x=0
m dxdy dx dy																													dy											x=0
m dxdy dx dy																													dy		dx														σ
												0			0								0					0																	σ					x
																																										0 y=0								x
			1				1 x2						1	1				2		dx												x3		1		2						0 y=0
					y		0		dx					1		x				dx			x														.
							0									x																3				3										Рис. 30
			0										0																			3		0		3										Рис. 30
С
						Выч сл м							нтегралы, стоящие в числителях формулы (1.21).
	x dxdy									1 1 x2										1 1 x2														1	хy		1 x	2	dx				1	x1			2 dx
	x dxdy										dx		xdy									х				dy dx									хy		1 x		dx					x1		x	2 dx
																																					0									x
										0		0								0				0										0									0
и
		1												2			4				1	1 .
				(x				3)dx x							x							1 .
								x					2			4								4
		0											2			4				0				4
									1 1 x2																y2				1 x2							2	1					x4
									1 1 x2						1 x2										y2								1 x2				1			2		x4
уdxdy dx ydy																	ydy									2								2					x			2
									0			0					0									2			0					2			2					2
																													0
									бА
		1				1		2		x4						1		x				2					x5 1						4
								x			dx							x				x												.
						2		x								2						x										15
		0				2				2						2											10			0		15
																														Д
						Тогда окончательно получаем
					x (x; y)dxdy											1							3													y (x;y)dxdy										4			2
xc																4							3				;							yc												15			2	,
xc						(x; y)dxdy										2							8				;							yc																,
						(x; y)dxdy										3							8														И(x; y)dxdy 2 5
																																														3


т. е. центром тяжести является точка с координатами C 3;2																																																.
																																													8	5
																															31

5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей

Пусть (x; y)

– плотность материальной двумерной пластинки

D , тогда её моменты инерции относительно координатных осей и на-

чала координат вычисляют по формулам

Iox y2 (x; y)dxdy;Ioy x2 (x; y)dxdy;

у2 (x; y)dxdy.

(1.22)

r acos

Пример 8. Вычислить мо-

менты

инерции относительно

точки границы однородного кру-

га и его диаметра, если радиус

круга R

, а вес Р.

Решение. Поместим начало

хх

координат в точке, лежащей на

границе круга, а центр круга – в

точке C

(рис. 31).

бАТогда задача сведется к на-

Рис. 31

хождению

моментов

инерции

относительно начала

координат

и оси 0х.

Введем полярные координаты. Уравнение окружности в поляр-

ных координатах примет вид

rcos 2

rsin 2

arcos ;

r2 cos2 r2 sin2 arcos ;

r2 cos2 sin2 arcos ;

r2 1 arcos или окончательно имеем

r acos .

Проведя лучи, исходящие из полюса, увидим, что для них r 0 – линия входа, а r acos – линия выхода, следовательно, r изменяется в границах

0 r acos .

Найдем область определения этой функции r. Так как, по определению, r 0, то acos 0, значит, угол φ лежит в первой и четвёр-

С
той четвертях, т.е.										2									. По формуле (1.22), с учётом того, что
										2					2
плотность круга равна постоянному числу , получим
I x2								y2 dxdy							acos																			acos
														2	acos					r2 r dr													2	acos
																				r2 r dr						d										r3dr d
и
0																		0																	0
																		0																	0

														2																			2
	2				r4		\|acos		d		2	a4 cos4								d				a4			2			1 cos2							2d
							\|acos		d											d																	2d
				4		0		бАg R2
				4		0									4									4									2
		2
		2								2																	2
	a4																							a4
	a4						2						1 cos4											a4			2				3								cos4
	16	2					1 2cos2								2					d				8							2	2cos2							2	d .
	16						0								2									8				0			2								2
	a4			3						1											a4			3			3
	a4			3						1								2			a4			3			3				a	4
							sin2					sin4																					.
							sin2					sin4																					.
	8			2						8							0					8		4			32								Р
	8			2						8							0					8		4			32
			Из формулы Р gm g S g R2 найдем																																			.
			Из формулы Р gm g S g R2 найдем																																			.
			Подставим полученное значение в выражение для момента
инерции I0. Получим																													И
												3																	И
												3						4РД3 P 3 P
									I0					a4											a2								R2.
										32						g a				2			8 g							2 g

Воспользовавшись формулой (1.22) аналогично получим момент инерции относительно оси 0х, при вычислении которого воспользуемся свойством интеграла от четной функции по симметричному от-

аа

резку интегрирования: f x dx 2 f x dx.

а 0

																		acos																												acos

I		y														2						r2 sin2					r dr														2
I	х	y								2dxdy												r2 sin2					r dr									d								sin2				r	3dr d
	х																			0																											0
																				0																											0

																	2																									2
																	2																									2

														r4 acos											a4 sin2 cos4
		2								2				r4 acos									2		a4 sin2 cos4
С
С																	d																						d
						sin								\|0			d										4												d
														4													4


		2																				2
		a4																										a4							sin2 2 1 cos2

										2	sin cos								2		2												2
				2																cos		d																							d
		4		2																cos		d					2										4						2		d
		4								0																	2					0					4						2
		a4						1 cos4																						a4						1 cos4
																1 cos2 d																												1 cos2 d
							2																											2

		16					0	2			б2 А2 2
		16					0							2													16								0			2
		a4											sin4				sin2							sin6							sin2
		a4											sin4				sin2							sin6							sin2							2
			и
		32												4					2			12										4
		32												4					2			12										4						0
		a4					a4										1			4			4P						1 Pa2									1 P			2
		32					2					64					64		a			g a2							16		g							4 g R				.
											Задачи для решения в аудитории [4], (видео 3)
					1. Найти объем цилиндра, ограниченного поверхностью
z = 9 − x										− y					, цилиндром x + y												= 4 и частью координатной плоско-
сти 0ху.
					2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
															x2 + y2 − 4 y = 0; x2 + y2																	− 8y							И
															x2 + y2 − 4 y = 0; x2 + y2																	− 8y					= 0;			х = 0; y 3x.
					3. Вычислить площадь областиД, ограниченной лемнискатой Бер-
нулли r2 cos2 .
					4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
х=0; у=5; у=х2+1.
				5					Вычислить											площадь									области,										ограниченной									линиями

y sin2x;												y cos x; y 0; x 0;																	.
y sin2x;												y cos x; y 0; x 0;																	.
																										2

6. Вычислить массу плоской пластины, ограниченной линиями x=0; y=0; y=1–x2, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки, =х.

7. Вычислить массу плоской пластины, ограниченной линиями x=0; x=2; y=1; y=4, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе

этой точки, x2 2xy.

8. Вычислить массу квадратной пластины со стороной а, если ее

плотность в любой точке М пропорциональна квадрату расстояния от

этой точки до точки пересечения диагоналей, а в угловых точках

квадрата равна единице.

9. Выч сл ть координаты центра масс однородной плоской фи-

гуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями

линиями

у2=–2х + 4.

у2

= 4х + 4;

10. Выч сл ть координаты центра масс фигуры, ограниченной

у = х2; у2 = х, если плотность фигуры xy.

11. Выч сл ть момент инерции относительно начала координат

бА3 4 4

фигуры, огран ченной линией

х2

+ у2

− 2х = 0, если её плотность

3,5.

12. Выч сл ть момент инерции относительно начала координат

и осей коорд нат пластины плотностью x2 y,

лежащей в плоско-

сти 0ху и ограниченной линиями у = х2 и у = 1.

Ответы

4 3 3

. 3.

1. 4.

. 6.

7. 38.

8. а /3. 9. хс = - 2/5,

ус = 0.

10.

хс = 9/14, ус = 3/56.

11.

21π/4.

12. I0 = 104/495, Ix = 4/33,

Iy = 4/25.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Приведите примеры задач, приводящих к понятию двойного интеграла.

2.Как определяется двойной интеграл?

3.Какие свойства двойного интеграла вы знаете?

4.Выведите формулу перехода от двойного интеграла к повтор-

ному.

5.Дайте понятие вычисления двойного интеграла в полярной системе координат.

6.Как вычислить массу неоднородной плоской пластинки?

7.Выведите формулу для вычисления объема тела.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET