Материал: 2276

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл

6xy 4y2 5y dx 3x2 8xy 5x dy

AB

зависеть от формы пути интегрирования и вычислить этот интеграл по пути, соединяющему начало координат с точкой A(2;3).

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

 

 

 

 

 

y exy 5 dx x exy 5 dy.

 

6. Выч сл ть координаты центра масс однородной полуокруж-

С2 2

 

 

 

 

x

y 4

, с мметричной относительно оси Ox.

 

 

 

 

 

Вариант 25

 

ности1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

 

а) (x 2y)dx dy, L – дуга кривой

 

 

 

L

 

 

x 2cost;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 4sint,

 

где (

t );

 

 

 

 

 

 

 

2

 

х3 dl, L – отрезок прямой В, где (1,1), В(2,3).

 

б)

 

 

L

бА

 

 

 

 

 

 

 

2. Вычислить xydl, где L контур треугольника с вершинами

 

 

 

 

L

 

 

в точках O(0;0),

A(2; 2), B(4; 2).

 

 

3. Вычислить xdy ydx, где L дуга эллипса

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

L

 

И

 

 

 

 

 

 

x 3cost;y 2sint,

соединяющая точки A(3; 0) и B(0; 2).

151

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

x2 y2dx y ln x x2 y2 xy dy,

L

где L – контур прямоугольника с вершинами A 3;2 , B 6; 2 , C 6;4 ,

D 3; 4 .

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функц u(x; y). Найти функцию u(x; y).

 

2

 

 

дуги

 

 

 

 

 

С

(2x 3y2

1)dx (2 6xy)dy.

 

 

 

 

 

 

 

e

x

e

x

6. Выч сл ть дл ну

 

цепной линии y

 

 

, x 0;1 .

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

И

152

Глава 4.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Поверхностный интеграл первого рода

С

(по площади поверхности)

F x; y;z есть функция, непрерывная на некото-

Пусть F M

рой гладкой поверхности. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности. Разобьем эту поверхность на элементарные Si,i 1,...,n. В каждой элементарной части Si вы-

берем по одной точке Ρi хi; уi;zi и умножим значение функции F в

этой точке на площадь Si элементарной части.

Определен е 1. Сумма таких произведений по всем элементар-

ной частям

 

 

 

 

 

 

 

 

части

 

 

 

 

 

 

 

 

n

хi; уi;zi Si

 

 

 

 

 

F Ρi

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

называется интегральной суммой.

 

 

 

 

 

Обозначим через d Si диаметр элементарной области Si , т. е.

расстояние

между

наиболее

удаленными

точками

этой

части;

d maxd Si

– наибольший из диаметров всех элементарных областей

i

бА

 

 

данного разбиения.

 

 

 

 

 

 

 

Определение

2. Поверхностным

интегралом

первого

рода

 

 

 

Д

 

F x;y;z dSот функции F (М) по площади поверхности S называет-

S

 

 

 

 

 

 

 

 

ся предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа

элементарных сегментов, т.е. когда все элементарные сегменты стя-

гиваются в точку

 

 

 

 

 

 

 

 

F x; y;z dS

 

n

 

; уi;zi Si .

 

 

lim

F Ρi хi

(4.1)

 

S

 

n

i 1

И

 

 

 

d 0

 

 

 

 

 

Будем считать, что функция z z x; y дифференцируема в любой точке – проекции S на плоскость х0у , то есть в любой точке S можно провести касательную плоскость.

153

Поверхностный интеграл по площади поверхности обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла по длине дуги (см. гл. 3, §1).

Если F x; y;z означает поверхностную плотность массы мате-

риальной поверхности а, то интеграл (4.1) определяет массу всей по-

С

 

 

верхности; и по формулам, аналогичным формулам § 3 гл. 2 , вычис-

ляются координаты центра тяжести и моменты инерции этой поверх-

ности.

 

 

иdS

 

 

§2. Выч слен е поверхностного интеграла первого рода

z

 

 

бА

 

S

 

 

0

d

y

x

Д

 

Рис. 106

 

(рис. 106). Для этого вспомним известный фактИиз дифференциальной геометрии: если – проекция плоской области с площадью D, тоDcos , где – угол между плоскостями области и проекции этой

Предположим, что поверхность S однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость, например, на плоскость х0у и

область на этой плоскости является ее проекцией. Выразим элементарный сегмент поверхности dS через его проекцию d

области.

Проведем в произвольной точке выбранного элемента поверхности dS касательную плоскость и пусть dD – та её часть, которая

154

проецируется на d . Так как функция z z(x; y) дифференцируема,

то площадь элемента dS dD

d

 

, где – угол между касатель-

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной плоскостью и плоскостью х0у, который равен углу между их

нормалями.

 

 

 

 

 

 

 

перепишем уравнение поверхности S в

Для вычисления cos

 

неявном в

де,

т.е. U x; y;z z z(x; y) 0. Тогда нормаль касатель-

ной плоскостиNкас совпадает с вектором gradU , который вычисляется

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

U

 

 

 

U

U

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

Nкас

gradU

 

 

 

i

 

 

 

 

 

j

 

 

 

k zxi

zy

j 1 k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

плоскости x0yпараллелен оси 0z. Следователь-

нормали

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но, можно взять в качестве нормали вектор k 0;0;1 . Воспользовав-

шись формулой

 

 

Nкас

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nкас

 

k

 

 

 

 

zx'

2 zy' 2 12

 

 

 

получим

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

dS

d

 

 

 

1 zx'

 

 

z'y

d .

 

 

 

(4.2)

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

в точках

поверхности

S,

определяемой

уравнением

z z(x; y),

функция

 

 

 

F M F x; y;z

 

 

принимает

значения

F x; y;z F x; y;z x; y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

то поверхностный интеграл первого рода

может быть сведен к двойному интегралу по формуле

 

 

 

F x; y;z dS F x; y;z x; y 1

z' 2

z' 2d .

 

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Замечание. Если поверхность S удобно спроектировать на другую координатную плоскость, то формула (4.3) изменится соответствующим образом.

Замечание. В более сложных случаях, когда поверхность кусоч- но-гладкая или неоднозначно проектируется на координатные плос-

155

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET