Материал: 2276

х 2у

у

2

х dx

y

dy

2

2

у х

у х

6. Найти работу силы F xi x y j при перемещении точеч-

СL

ной массы m по дуге эллипса x аcost; y bsint.

Вариант 8

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

интервале

L – дуга окружности

а)

(x y)dx (x y)dy,

x 2cost;

бАL

y 2sint

в

(0 t

);

2

б)

( x 2 y 2 )dl , где L – контур окружности

L

x 2cost;

y 2sint

в интервале (0 t 2 ).

Д

2. Вычислить

x y dl, где L

контур треугольника с верши-

нами A( 1;0), B(0;1), O(0;0).

3.

Вычислить xy2dx yz2dy x2zdz, где L отрезок прямой

L

OB; O(0;0;0), B( 2; 4;5).

4.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-

ки:

x y dx x y dy,

L

И

где L – треугольник OAB с вершинами O(0; 0), A(1;0), B(1;1).

5.

Показать, что данное выражение является полным дифферен-

1

1

cosxcosy 3x

2 dx

sinxsin y 4y dy.

x y

x y

6. Найти работу силы F xi x y j при перемещении точеч-

С

x2

16 y2 9 1.

ной массы m

по дуге эллипса

Вариант 9

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

интервале

а)

x2 ydx y2xdy, L – дуга кривой

L

x t;

в

(0 t 1);

y t3

б)

x2 y 2

dl , где L – дуга кривой

L

x 2(cost tsint);

y 2(sint tcost)

в интервале (0 t 2 ).

2.

Вычислить xydl,

где L контур прямоугольника с верши-

L

нами O(0;0)бА, A(4;0), B(4; 2), C(0; 2).

3.

Вычислить y dx xdy, где L дуга линии y ln x от точки

L x

И

A(1;0) до точки B(e;1).

4.

Применяя формулу ГринаД, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-

ки:

xdy ydx

,

L x2 y2

где L – окружность x2 y2

1.

y

x

ln y 2x dx lnx

1 dy.

x

y

С

r 3sin ; 0; 4 , если

6. Вычислить массу дуги кривой

плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию до полюса и

при 4 равна 3.

и

Вариант 10

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

а)

(x y)dx (x y)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (1,0),

В(0,1);

L

бА

б) xdl, где L – дуга кривой

L

x 3(t sint);

где (0 t 2 ).

y 3(1 cost),

dl

2.

Вычислить

,

где

L отрезок прямой,

соеди-

8 x2

L

y2

няющий точки A(0; 0),

B(2; 2).

3.

Вычислить

2xydx x2dy,

где

L ломаная OBA;

O(0;0),

A(2;1), B(2;0).

L

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемойДпротив хода часовой стрел-

ки:

x2 ydx xy2dy,

L

где L –

окружность

x2 y2 a2 , пробегаемаяИв положительном на-

правлении.

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

ex y cosx dx ex y

sin y dy.

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

а)

xydx y2xdy, где L – отрезок прямой АВ, А (2,0), В(0,2);

и

L

y 2 dl

Сб) , где L – дуга кривой

L

x 3cost;

бА

y 3sint,

где(0 t 2 ).

dl

2. Выч сл ть

, где

L отрезок прямой, соеди-

8 x2 y2

L

няющий точки A(0; 0), B(2; 2).

x y dx x y dy,

L

И

где L – окружность x2 y2

4.

Д

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

y

x

2x dx

6y dy.

1 x

2

y

2

1 x

2

y

2

Вариант 12

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

x2 ydx ydy, L – дуга кривой

y x2 +1 от точки А (0,1) до

L

С

В (1,2);

x 2 dl

б)

, где L – дуга кривой

y ln x, соединяющей точки А

L

В(

) .

(

3,

ln

3

)

8,

ln

8

нами

2. Выч сл ть

x

2ydl, где L контур прямоугольника с верши-

L

в точках O(0;0),

A(2; 0), B(2; 3),

C(0; 3).

3.

Выч сл ть

xdy ydx, где L дуга эллипса

x 2cost;

бА

L

y 4sint от точки A(2;0) до точки B(0; 4).

где L –

контур треугольника ABC с вершинами A(2;0), B(2; 2),

C(0; 2).

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

exy xyexy 2 dx x2exy 1dy.

6. Вычислить длину дуги однойДарки циклоиды x 3 t sint ,

y 31 cost .

И

Вариант 13

1. Вычислить криволинейные интегралы:

1

а) ydx xdy, L – дуга кривой yx 1

от точки А (1,1) до В 6,

;

L

ydl , где L – дуга кривой

6

б)

L