Материал: 2276

б)

dl

, где L – отрезок кривой, соединяющий

L 4 x 2 y 2

4

точки О(0,0) и А(1,2).

2. Вычислить

2ydl, где L первая арка циклоиды

С

L

x 2 t sint ; y 2 1 cost .

3. Вычислить (x y)dx x y dy, где L отрезок прямой,

L

соединяющ й точки A(2;3) и B(3;5).

и

4. Пр мен в формулу Грина, вычислить

х y 2dx х у 2dy,

l

параболой

y x2и отрезком прямой, со-

где l – контур, огран ченный

ду точками A(0; 0) и B(2; 4).

А

Вариант 3

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) (x3

y)dx xy3dy, L – отрезок прямой АВ, где А(1,1), В(3,5);

L

Д

б)

x 2 y 2

dl , где L – контур окружности;

L

И

x cost;

2.

Вычислить

y2

x2 xy

dl, где L дуга кривой r 9sin2 ;

y2 2

L x2

0

.

4

С

2xy)dx (y2 2xy)dy, где L дуга параболы

3.

Вычислить (x2

x2 y2dx y ln x

xy dy,

x2 y2

L

где L – контур

с вершинами A 3;2 , B 6; 2 , C 6; 4 ,

Dпря3; 4 . моугольника

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

(2x 3y2 1)dx (2 6xy)dy.

6. Вычислить длину дуги цепной линии y

ex

e x

, x 0;1 .

2

бА

Вариант 4

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

x

3

dx x

2

2

dy, L – дуга кривойДy x от А(1,1) до В(3,9);

L

И

б)

(2z

x2

y2

)dl, L – дуга кривой

L

x tcost;

y tsint;

z t

в интервале (0 t

2 ).

2.

Вычислить

L

dl

где L отрезок прямой, заключен-

5 х

у

ный между точками A(0; 4), B(4;0).

3.

Вычислить

ydx xdy

, где L отрезок прямой AB; A(1; 2),

С

L

x2 y2

B(3;6).

функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

циалом

2xy

2

2x2 y

3 dx

5

dy.

2

2

2

2

1 x

y

1 x

y

6.

Вычислить массу дуги кривой y ln x, заключенной между

точками с абсциссами x

и x

8, если плотность дуги в каждой

3

точке равна квадрату абсциссы этой точки.

бА

Вариант 5

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

cos3 dx ydy, L – дуга кривой y sin x;

0 x

;

L

Д

2

б)

y 2 dl

, где L – арка циклоиды;

И

L

x (t sint);

y 1 cost

в интервале(0 t 2 ).

dl

2. Вычислить

, где L отрезок прямой, соеди-

L x2 y2

4

3.

Вычислить (y x2)dx 2x y dy, где L дуга параболы

L

y 2x x2 , заключенная между точками A(1;1) и B(3; 3).

4.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-

ки:

x y 2 dx x2 y2 dy,

L

где L – контур треугольника с вершинами A(1;1), B(6; 2), C(1;5).

5.

Показать, что данное выражение является полным дифферен-

С

функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

1

ysin2x

cos2y

dx xsin2y cos2 x 1dy.

2

циалом

y t6 6, ограни-

6.

Выч сл ть дл ну дуги кривой x 2 t4 4;

ченной точками пересечения ее с осями координат.

Вариант 6

1.

Вычислить криволинейные интегралы:

а) (x2 y2)dx xydy, L – дуга кривой y еx

от точки А(0,1)

L

бА

до В(1,е);

dl

б)

L

, где L – отрезок кривой, соединяющий точки

x

y

А(0,-2) и В(4,0).

Д

2.

Вычислить xydl, где L контур прямоугольника с верши-

L

нами в точках O(0;0),

A(5;0), B(5; 3), C(0; 3).

3.

Вычислить xdy ydx, где L дуга астроиды x 2cos3 t ;

y 2sin3 t

L

И

от точки A(2;0) до точки B(0; 2).

4.

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

где L – окружность x2 y2

5.

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

С

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

(y2exy2

3)dx (2xyexy2

1)dy.

6. Выч сл ть массу

отрезка прямой y 2 x,

заключенного

натными1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

между коорд

осями, если линейная плотность в каждой

точке пропорц ональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точ-

ке 2;0 равна 4.

бА

Вариант 7

а) xydx y2dy, L –дуга кривой

L

x t2;

y t

в интервале (1 ≤ t ≤ 2);

Д

б)

xydl , где L – отрезок кривой, соединяющей точки 0(0,0) и

В(4,2).

L

2

2. Вычислить y dl, где L дуга параболы y

2

x между точ-

L

3

И

ками A(0; 0), B( 35 6;

35 3).

3. Вычислить x2

y2 dx x y2 dy, где L ломаная ABC ;

L

A(1; 2),

B(3; 2), C(3;5).