Материал: 2276

dU X(x, y)dx Y(x, y)dy;

(3.22)

области y

x

С4) всюду в

σ выполнено равенство

Х

Y

.

(3.23)

Это услов е

удет выполняться, если подынтегральное выраже-

интеграл

x2

y2 dx 2хуdy не зависит от пути интегрирования.

АВ

Х 2у. В силу равенства

Так

как

X(x, y) х2 у2, то

y

Y

Y(x, y) 2xбу получим А2y.

x

Равенство этих производных означает независимость данного

криволинейного интеграла от пути интегрирования. Следовательно,

И

совпадение результатов вычислений во всех трех рассмотренных слу-

чаях было неслучайным.

Д

Замечание. Как было отмечено ранее, криволинейный интеграл

второго

рода можно

трактовать как работу переменной силы

F(X x; y;z ,Y x; y;z )по

перемещению

материальной

точки

вдоль

криволинейного пути АВ. Из доказанной теоремы следует, что вы-

полнение

равенства

Х

Y

означает,

что

сила

y

x

X(x, y)dx Y(x, y)dy

не

зависит от пути

l

y

интегрирования, то в

этом

случае

линию

B(xB;yB)

интегрирования

можно

заменить

любой

другой, проходящей через точки А и В, со-

ответствующие началу и концу кривой l.

y=y(x)

Удобно выбирать ломаную АСВ, состоя-

щую из

отрезков

прямых,

параллельных

C(xC;yC)

осям коорд нат (р

с. 104).

A(xA;yA)

x

ледовательно,

от

криволинейного

интеграла

кр вой l

можно перейти к ин-

Стегралам отрезкам прямых:

Рис. 104

Xdx Ydy

Xdx Ydy

Xdx Ydy.

AB

AC

CB

Для прямой АС

уравнение у=уА; dy=dyA=0.

получим

Для прямой СВ x=xB; dx=dxB=0. Тогда получим

Xdx Ydy

Xdx Ydy

Xdx Ydy

AB

AC

CB

б

хB

dx

уВ

X х, у

Y xB, y dy.

(3.24)

хА

уA

А

Интеграл, не зависящий от линии интегрирования, часто обо-

значается как

(xB;yB)

(3.25)

X x,y dx Y x,y dy.

(xA;yA)

Д

X(x, y)dx Y(x, y)dy является полным

дифференциалом некоторой

функции двух аргументов U=U(x;y):

И

dU X(x, y)dx Y(x, y)dy; т.е.

U

X x, y ;

U

Y x, y . (3.26)

x

y

дифференциалом некоторой функции U U(x, y).

Требуется найти

эту функцию.

Действительно,

выбирая

некоторую

фиксированную

точку

(х0;у0), переменную точку (х;у) и обозначая U(x0;y0)=C, получаем с

С

помощью выражений (3.24) и (3.26) правило нахождения функции

U(x;y) по ее полному дифференциалу:

U х, у dU U(x ; y ) U(x0; y0),

l

с другой стороны,

х

у

dU

X(x, y0)dx Y(x0

, y)dy.

бА

l

х0

у0

иОткуда

у

U x, y

х

X(x, y0)dx

Y(x0, y)dy C,

(3.27)

х0

у0

где точки А (х0,

у0) и В(х,

у)

принадлежат области σ, в которой

X(x, y),Y(x, y)и их частные производные являются непрерывными

Д

функциями; С – произвольная постоянная.

Пример

4.

Показать,

что

дифференциальное

выражение

2

1

x

y

e

x

2 dx

2y

e

x

2

e

y dy

будет полным дифференциалом

y

y

И

некоторой функцииU x, y

и найти эту функцию.

x

Решение.

Так

как

Х y2ex

1

2

и Y 2yex

ey, то

y

y2

X

2yex

1

и

Y

2yex

1

. Следовательно,

X

Y

(у 0).

y

y2

x

y2

y

x

x

3 dx

y

x

U(x; y)

x

2y

e

x

e

y

dy

C

e

y

2

0

1

x 3x

x

2

x

x

y

y

С x 3x 1

y

С

e

e

e

0

e

y

x

x

1

x

2

x

y

x

2

x

y 2х С.

y

e

e

e

e С

y

e

e

y

1

y

слить

Замечан е.

Используя доказанную теорему при решении задач,

надо вн мательно след ть за выполнением всех сформулированных в

ней услов й,

наче можно получить неверный результат.

бА

Пр мер 5.

Выч

y

y

dx

x

dy, где l – окружность

l

x

2

y

2

x

2

y

2

x2 y2

1(р

с. 105).

A(В) x

Решение.

Несмотря

на

то,

что

-1

0

1 х

y

x

y

2

x

2

,

2

2

2

2

y

x

y

x

y

2

x

x2 y2

нельзя сказать,

что данный интеграл равен

нулю.

Дело

в

том,

что

Д

вектор-функция

y

x

Рис. 105

F(

x

2 y2

,

x2

y2

)

не

является

непре-

рывной в начале координат, то есть в центре круга x2 y2

1, и рас-

И

смотренная выше теорема в этом случае не применима.

Для вычисления интеграла перепишем уравнение окружности в

параметрической форме, воспользовавшись формулами:

x = cost; y = sint.

Обход происходит от точки А до точки В. Значит, точке А соот-

ветствует значение параметра 0, а точке В – 2 .

Воспользуемся формулой (3.16)

y

dx

x

dy

x 2y dx 1 2x dy

x2 y2

x

2 y2

l

l

2

sin t

cos t

( sin t)

(cos t) dt

cos

2

t sin

2

cos

2

t sin

2

0

t

t

2

2

sin2 t cos2 t dt dt t02 2 .

0

0

Отметим, что если l – окружность x 1 2

y 1 2

1, которая

не содерж т внутри начало координат, то

Задачи

x

С

l

y

dx

dy 0.

x2 y2

x2 y2

бАat

для решения в аудитории

1. Выч сл ть

l

y2dx x2dy

, где l – полуокружность, которая за-

x2

y2

даётся x = а cost; y = а sint

от t1 0до t2

.

2.

Вычислить

хdx уdy x y 1 dz ,

где l – отрезок пря-

AB

мой от точки А 1;1;1 до точки В 2;3;4 .

3. Вычислить yzdx zxdy xydz , где L – дуга винтовой линии

L

Д

x=Rcost ; y=Rsint;z

от точки пересечения линии с плоскостью

2