Материал: 2276

x

2

dx x

у

2

2

2

dx x

2

х

dy x

х 2

2 dx

ВC

0

2

2

2

2

3x2

2

x

dx x х 2 1 dx 3x 4 dx

2.

2

4x

0

0

0

С

Так как на отрезке СА у const, то у 0,

1

x

3

1

x2dx x у2 dy x2dx

3.

3

CA

2

2

Окончательно

меем x2dx x у2 dy 2 2 3 3.

l

Пр мер 5. Выч слить ра оту силы F yi x y j по переме-

щениюточкиматер альной из начала координат в точку (1,1) вдоль

кривол нейного пути y х2.

2

А

Решение. Ра ота силы

F(X x; y;z ,Y

x; y;z ) по перемещению

материальнойбточки вдоль кривой l вычисляется по формуле

l

X(x, y)dx Y(x, y)dy.

0

Д

Кривая

y х

задана уравнением в прямоугольной системе ко-

ординат, следовательно, воспользовавшись формулой (3.19), получим

1

И

А ydx х у dy x

2

dx х х

2

х

dх

2

1

1

х

3

1

x

4

1

3

x2dx x х2 2x dх 3х2 2x3 dx 3

2

.

0

0

3

0

4

0

2

§ 3. Формула Остроградского – Грина

Остроградский Михаил

Васильевич (1861–1862)

–

y

y = y2(x)

русский математик, академик.

А.Н. Джордж Грин (1793

–

A

C

Иногда эту формулу на-

B

зывают формулой Грина, од-

Сy= y1(x)

нако Дж. Грин предложил в

1828 г. только частный случай

0

x1

x2

x

формулы.

бА

и

Формула Остроградско-

го –

Грина

устанавливает

связь

между

криволинейным

Р с. 102

интегралом и двойным инте-

гралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру че-

рез двойной интеграл по о ласти, ограниченной этим контуром.

Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в

ней нет исключенных участков.

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рис. 102, то

Д

криволинейный интеграл по контуру l можно записать в виде

X(x, y)dx

X(x, y)dx

X(x, y)dx

X(x, y)dx

X(x, y)dx,

l

AB

BC

CD

DA

X(x, y)dx

X(x, y)dx 0, так как x constна прямых AB и CD.

AB

CD

И

Х(x, y)dx

x2

x1

Х(x, y1(x))dx

Х(x, y2(x))dx

l

x1

x2

x2

x2

Х(x, y1(x))dx Х(x, y2(x))dx;

x1

x1

x2

l

x1

y2 Х

y2(x)

Так как

dy

Х(x, y)

Х(x, y

2

(x)) Х(x, y (x)), то

y1

y

1

y

(x)

1

x2

y2 Х

Х

Х(x, y)dx

(

dy)dx

dydx.

С

y

y

l

x1

y1

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кри-

вые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для

контура про звольной формы

Y

X

X(x, y)dx

Y(x, y)dy

dydx

(3.21)

l

x

y

контурам всехобластиисключенных участков, причем каждый из этих конту-

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

иФормула Остроградского – Грина справедлива и в случае мно-

госвязной

,

.е.

о ласти, внутри которой есть исключенные

участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять со-

бой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по

ров интегрируется в таком направлении, чтобы область σ все время

оставалась по левую сторону линии обхода.

Д

Решим пример 3, рассмотренный выше, воспользовавшись фор-

мулой ОстроградскогоА– Грина.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл x2 ydx x3dy,

l

где l – контур, ограниченный параболами

y2

x;

x2

y

(см. рис.

100).

И

Решение.

Так как

Х(x, y) х2 у,Y(x, y) x3 ,

то с учётом того,

что

Y

х3 ' 3х2,

X

х2 у ' х2

, то по формуле (3.21) получим

x

x

y

y

1

х

x2 ydx x3dy 3x2 x2 dххd 2x2dххd

2x2

dy dx

l

0

х2

1

5

2

7

x5

1

2 1

6

x

1

2x2 y

dx 2(x2 x4)dx 2

x2

2

.

0

2

0

7

5

7 5

35

x

0

Пример 2. Вычислить 3x 2y dx 6x 7у dy,

где l

задается

l

уравнением x2 y2 2x (направление обхода положительно).

Решение. Из уравнения контура l после выделения полного

квадрата получим x 1 2

y2

1, то есть l является окружностью ра-

диуса 1 с центром в точке 01 1;0 , поэтому – круг радиуса 1, пло-

щадь которого равна S r2 .

Для выч слен я

нтеграла применим формулу Остроградского

Грина

–

(3.21).

С

Х

'

Х(x, y) 3x 2y,следовательно,

y

3x

2y y 2.

Y(x, y) 6x 7y,следовательно,

Y

6x 7y 'x 6.

x

Отсюда с учетом того, что определённый интеграл по области σ

равен её площади при равенстве единице подынтегральной функции,

получ м

3x 2y dx 6x 7у dy 6 2 d 8d 8S 8 .

l

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упро-

Д

стить вычисление криволинейного интеграла.

бАПример 3. Вычислить

y

x2

y2 dx 2хуdy вдоль:

АВ

2;

а) параболы y х

4

B

б) прямой y 2х;

И

в) ломаной АСВ , если А 0;0 ,В 2;4 ,С 2;0

C

(рис. 103).

y х2

Решение. а) Кривая

задана

A

x

2

уравнением в прямоугольной системе коор-

динат, по формуле (3.17) имеем

Рис. 103

x2 y2 dx 2хуdy

х

х

АВ

dx 2

x

dx

2

2

2

2

2

2

2

2

х

4

х

3

2

2

5х

4

x

dx 2хх

dх x

2х dх

0

0

0

2

2

х

3

х

5

2

8

104

х2dx 5

х4dx

5

32

.

3

5

3

3

0

0

0

б) Аналогично кривая y 2х2 задана уравнением в прямоуголь-

ной системе координат имеем

x

2

y

2

2

x

2

2

dx 2хуdy

2х

dx 2х2х 2х

dх

АВ

0

и

х3

2

104

2

2

2

2

2

2

Сx 4х dx 4х

2 dх 13х

dx 13

.

3

3

0

0

0

бА

в) Уравнен е

АС: у

0,dy

0 0 x

2 .

Уравнен е СВ: x 2,dx 0 0 y 4 (см. рис.101). Поэтому

2

x2 y2 dx 2хуdy x2dx 4ydy

АВ

2

0

4

2

4

х

3

4y

2

8 32

104

x2dx 4ydy

.

0

0

3

0

2

0

3

3

Д

Во всех трех случаях получили один и тот же результат. Рас-

смотренная ниже теорема помогает ответить на вопрос: «Всегда ли

один и тот же криволинейный интеграл, вычисленный вдоль разных

путей, принимает одно и то же значение?»

Определение. Криволинейный интеграл не зависит от формы

пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную

точки, имеет одну и ту же величину.

Условие независимости криволинейного интеграла от формы

пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замк-

нутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.

Теорема. Пусть вектор-функция F(XИx; y;z ,Y x; y;z ) непре-

рывна вместе с частными производными Х , Y во всех точках пра-

y

x