Материал: 2276

1

x

3

3

l dl

dx ln

tg

ln

tg

ln

tg

l

0 cos x

2

4

0

6

4

4

С

5

ln tg

5

ln1 lntg

.

12

12

имеет место частный случай формулы (3.15), где в качестве параметра

бА

t взят полярный угол

φ.

Следовательно,

при задании линии l уравнением в полярной

ления кр вол нейного

нтеграла:

d ;

dl

2 / 2

f (x; y)dl

2

f ( cos ; sin )

2

/ 2d ,

(3.15)

l

1

Д

y х, у dl

1

2

2 / 2d ,

l

xc

sin

m

R

1

где φ1 и φ2 – значения φ, определяющие на полуокружности начало и

конец кривой, т.е. 0 . Так как

/

R 0, то

2

2

2

1

2

/ 2d

1

1

xc

sin

Rsin

R2d

R2 sin d

R

R

R

слить l

х 2у 5

1

1

1

R2

2R

Сcos

.

R

0

бА

Пр мер 4.

Выч

dl

,

где

l –

отрезок

прямой

у = 2х – 2, заключенный между точками A(0, –2), В(1,0).

Решен е. Эта плоская кривая задана явным уравнением, поэто-

му, воспользовавшись формулой (3.15), получим

2.

y 2х 2

Откуда дифференциал дуги

y

dl 1

/

2dx 1 22dx

5

dx.

1

1

Д

Следовательно, интеграл равен

b

1

1

f (x; y(x)) 1 y/ 2dх

5

dx

5

1

dx

а

0 х 2 2х 2 5

И

0

5х 1

5

d 5x 1

5

ln

5x 1

5

ln6.

5

0

5х 1

5

0

5

Задачи для решения в аудитории

1. Вычислить

l

dl

, где l – отрезок прямой у

1

х 2, заклю-

х у

2

3. Вычислить x2 y2 3dl, где l – окружность х2 у2

а2.

l

l

4. Вычислить

где

–

первая

арка

циклоиды

2ydl,

l

x а t sint ; y a 1 cost .

С

x2 y2 dl, где

l – первый виток кониче-

5. Вычислить 2z

l

y tsint;z t.

ской в нтовой л н

x tcost;

и

Ответы

2

3

7

2

1.

5ln2. 2. 24. 3. 2 а

4. 4 а

a . 5.

1 2 2

.

1 .

3

§ 2. Кр вол нейные интегралы второго рода

Рассмотр м задачу о вычислении работы переменной силы, ре-

шение которой приводит к понятию криволинейного интеграла вто-

рого рода.

Пусть под действием переменной по величине и направлению си-

лы

F(X x; y;z ,Y x; y;z ,Z x; y;z )материальная точка перемещается

вдоль криволинейного пути l

Д

от точки

A

до точки B.

НайдембАработу этой силы при условии, что кривая AB доста-

точно гладкая,

а вектор-функция F(X x; y;z ,Y x; y;z ,Z x; y;z ) не-

прерывна.

И

Известно,

что если под дейст-

F

вием постоянной

силы

F

матери-

альная точка совершает прямолиней-

ное перемещение l

(рис. 96), то рабо-

таA

l

.

l

F

cos F,l

F Рi 1

Для этого разделим дугу на n

достаточно

малых

участков

l

i

Mi 1

точками Мi,i 0,...,n(М0 и

Мn

Mi

Pi 1

совпадают с А и В соответственно).

Mi 1

Впишем в кривую АВ ломаную ли-

Pi

F Р

нию (рис. 97). Тогда перемещение

вдоль дуги МiМi 1

можно прибли-

i

женно считать прямолинейным пе-

Р с. 97

ремещением

вдоль

вектора

С

li

МiМi 1,i 0,...,n

(рис.

97).

На каждом участке вы ерем точку i i;ni; i , такую, чтобы можно

было пр бл женно сч тать силу, приложенную в этой точке, величи-

ной постоянной, т.е. F F Pi .

Тогда

на i-м участке вычисляется по формуле

и

Ai F Pi , li .

Работа вдоль всей кривой

В приближенна равна

работа

n

n

A

F

Pi , li .

(3.16)

i 1

i 1

очевидно, тем точнее, чем больше участков МiМi 1 и меньше их дли-

на. Поэтому если существует предел n-й интегральной суммы, когда,

n , max

li

И

0, не зависящийДот способа ее составления, то

i

за точное значение работы естественно принять его величину

n

.

А lim F Pi

, li

n

(3.17)

F

,dl

lim F

Pi , li

С

ный интеграл от вектор-функции) при условии, что этот предел суще-

ствует и не зависит от способа составления интегральной суммы.

Если в формуле (3.17) записать скалярное произведение в коор-

динатной форме, то получим

и

X x;

y;z dx Y x; y;z dy Z x; y;z

l

n

Y Pi yi Z Pi zi .

lim X Pi xi

n i 1

бА

0

Свойства кр волинейного интеграла второго рода

1. Кр вол нейный интеграл при перемене направления кривой

меняет знак.

F,dl F,dl .

AB

BA

2.

F,dl

Д

F,dl F,dl для любых точек А, В, С на кри-

AB

AC

CB

вой – свойство аддитивности.

3.

F G,dl F,dl G,dl – свойство линейно-

AB

l

AB

AB

И