Материал: 2276

F вдоль контура l обозначается F,dl .

С

l

5.

АВ – кр вая, лежащая в плоскости, перпендикулярной

оси ОХ, то

Если

бА

X

(x, y,z)dx 0.

теграл

Д

X(x, y,z)dx Y(x, y,z)dy Z(x, y,z)dz

AB

существует.

И

y

Тогда вычисление криволинейных

B

интегралов второго рода производится

путем преобразования их к определен-

ным интегралам по формулам:

С

A

x

-1

0

1

Х(x, y,z)dx

Х

(x(t), y(t),z(t))x

(t))dt;

AB

Р с. 98

Y(x, y,z)dy

Y

(x(t), y(t),z(t))y

(t)dt;

и

AB

Z(x, y,z)dx Z(x(t), y(t),z(t))z (t)dt.

б

AB

Для всего

нтеграла имеет место формула

Xdx Ydy Zdz

(3.18)

X t x (t) Y t y (t) Z t z (t) dt.

AB

АВ

Здесь нижний предел интегрирования

в отличие от криволи-

нейного интеграла первого рода всегда определяется начальной точ-

кой А, поэтому он может

ыть и больше верхнего предела , соот-

ветствующего значению точки .

В случае, если

– плоская кривая, заданная параметрически,

x=x(t);

И

y=y(t) ,

где точке А соответствует параметрД, а точке В – , то

(3.19)

X х, у dx Y х, у dy X х t , у t x (t) Y х t , у t y (t) dt

AB

С

2

xydx yzdy xzdz

[cos t sin t( sin t) sin t 1(cos t)

AB

0

2

sin

2 t cos t sin t cos t dt

cos t 1 0]dt

где l – верхняя

слитьПр мер 2. Выч

x 2y dx 1 2x dy,

0

2t sint d

3

t

2

t

2

1

2

sin

sin

sin

sint

.

0

б

6

l

0

2;0

до точкиВ 0; 2

полов на окружности x2 y2 4

от точки

(рис. 99).

Решение. Запишем ее параметрическое уравнение

x = 2cost; y = 2 sint.

y

АНаправление обхода контура про-

тив часовой стрелки считается положи-

тельным. Следовательно, обход происхо-

дит от точки

до точки В. Значит, точке

И

А соответствует значение параметр 0

B

0

A x , а точкеДВ – .

-2

2

Теперь по формуле (3.16)

Рис. 99

x 2y dx 1 2x dy

l

2cos t 2 2sin t ( 2sin t) 1 2 2sin t (2cos t) dt

0

2sin 2t 8cos2t 2cost dt 2sin 2tdt 8cos2tdt 2 costdt

0

0

0

0

sin 2td2t 4 cos2td2t 2 costdt

0

0

0

С

cos2t 3sin2t 2sint

1 1 0.

0

2. Дуга АВ задана уравнением в прямоугольной системе

координат.

точки

АВ

задана явно

y=f(x) от точки

Если

же

плоская

кривая

А а, f a до

B b,

f b , тогда согласно определению

бАх у

b

X(x, y)dx Y

(x, y)dy X(x, f (x) Y(x, f (x))f

(x) dx.

(3.20)

AB

a

Пр мер

3.

Вычислить

криволинейный

интеграл

x2 ydx x3dy,

где

l

–

контур,

у

l

пара олами

ограниченный

y2 x;

x2

y (рис. 100).

1

Направление

обхода

кон-

2

тура положительное.

Решение.

Представим

у x2

замкнутый контур l как сумму

И

2

2

l1 = x2 и l2

двух дуг

x

.

0

1

х

Тогда

по

формуле

имеем

Д

x2 ydx x3dy x2 ydx x3dy

Рис. 100

l

l1

l1

3

1

1

0

0

x

x2 ydx x3dy x4dx

x3 2xdx x2

xdx

dx

2

l

l

0

0

1

1

x

x5

2x5

3

3

1

1

2x

2

0

x

2

0

3

3

6

.

5

0

5

0

7

1

7

1

5

7

35

y

Пример 4. Вычислить

x2dx x у2 dy, где АВ – ломаная, со-

l

2

B

единяющая точки А 1;0 ,В 0;2 ,С 2;0 . В

соответствии с рис. 101 находим уравне-

ние сторон АВС:

и

A

1

C

С

Уравнение АВ:

-1

0 1

2

x

бА

Р с. 101

х 1

у 0

или

у 2х 2 1 x 0 .

0 1

2 0

Уравнен е ВС:

х 0

у 2

или у х 2 0 x 2 .

2 0

0 2

Уравнение АС:

Д

у 0 1 x 2 .

В силу заданного обхода

x2dx x у2 dy

x2dx x у2 dy

x2dx x у2 dy

l

АВ

ВС

И

x

2

dx x

у

2

dy.

СА

Вычислим полученные интегралы на каждой из прямых.

x

2

dx x у

2

0

2

2

dy x

dx x 2х 1

2х 1 dx

АВ

1

0

0

x2dx x 2х 1 2 2dx 9x2 18x 8dx 3x3 9x2 8x

0

2.

1

1

1