Материал: 2276

кривол нейным

нтегралом первого рода

С

f (x, y,z)dl.

(3.6)

AB

Из определен я криволинейного интеграла первого рода выте-

кает, что для него справедливы теорема существования и основные

свойства, аналог чные свойствам определенного интеграла:

1. Значен

кр

интеграла по длине дуги не зависит

волинейного

от направлен я кр вой

АВ.

2. Множ тель можно выносить за знак криволинейного инте-

грала.

3. Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме

б

криволинейных интегралов от этих функций.

4. Если кривая

раз ита на дуги

С и СВ, то

f (x, y,z)dl

f (x, y,z)dl

f (x, y,z)dl.

AB

АВAC CB

5. Если в точках кривой

В f1(x, y,z) f2 (x, y,z), то

f1(x, y,z)dl f2(x, y,z)dl.

AB

AB

Д

6. Справедливо неравенство

f (x, y,z)dl

f (x, y,z

dl.

AB

AB

И

7. Если f(x, y, z) = 1, то

n

l,

(3.7)

dl lim si

AB

0 i 1

по формуле

С

m x; у;z dl.

(3.8)

l

2. Коорд наты центра тяжести С(xc;yc;zc) дуги кривой l с плот-

ностью (x;y;z) выч сляются по формулам:

и

y dl

z dl

x dl

xc

l

; yc

l

; zc

l

.

(3.9)

m

m

m

ких случаев.

бА1. Параметрическое задание дуги АВ

Пусть дуга АВ задана параметрическими уравнениями:

x=x(t) ;

Д

(3.10)

y=y(t) ;

z=z(t);

t

, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функ-

И

li

хi 2 уi 2 zi 2

х сi 2 у сi 2 z сi 2 ti,

(3.11)

т.к.

li

в этом случае можно рассматривать как диагональ прямо-

угольного параллелепипеда. Тогда вследствие дифференцируемости

функций (3.11) по теореме Лагранжа приращения функций можно

представ ть в в де

хi

х сi ti 1 ti х сi ti,

Сyi

y сi ti 1 ti y сi ti,

zi

х сi ti 1 ti z сi ti,

где ti соответствует точке Мi

, а ti – Мi+1 , ti

ci

ti 1.Таким образом,

подставив выражен е (3.11) в (3.4), переходя к пределу

lim f сi

х сi 2 у сi 2

z сi 2 ti ,

0 i

получаем формулу для вычисления криволинейных интегралов пер-

вого рода

Д

2

2

2

dt,

(3.12)

бf (x; y;z)dl fА(x(t);y(t);z(t)) х у

z

l

где α и β – значения параметра t для точек

и В.

И

Для плоской дуги АВ, заданной параметрически, выведенная

формула остается справедливой, но содержит на одну компоненту

меньше – отсутствует z(t):

f (x;y)dl f (x(t);y(t)) х 2 у 2dt.

(3.13)

l

выразить подынтегральную функцию через

параметр t, заменить dl дифференциалом

B

дуги в зависимости от параметра t и про-

интегрировать полученное выражение по t.

0

Пример 1.

Вычислить длину

дуги

y линии x=cost; y=sint; z=t, t (винто-

формулами

x

A

вая линия на рис. 95).

С

Решение.

Кривая задана в парамет-

Р с. 95

рической системе координат, поэтому,

бА

воспользовавш сь

(3.7) и (3.12), получим

x

sint; y

cost; z

1.

Откуда д фференциал дуги

dl

sin2 t cos2 t 1dt

2dt .

Следовательно, длина дуги линии равна

l dl

2

2dt 2

2 .

l

0

2. Дуга АВзадана уравнением в прямоугольной системе координат

И

Если же плоская дуга АВ задана явно y=f(x), то все рассуждения

остаются в силе, но мы получимДнесколько иное выражение, которое

встречалось уже при вычислении длины дуги при помощи определен-

ного интеграла. Действительно, воспользовавшись выражением

получим

dl 1 y/ 2dx,

y/ 2dx.

f (x; y)dl f (x; y(x)) 1

(3.14)

l

Пример 2. Найти длину дуги кривойy lncos x; x

0;

.

3

1

sin x

y lncos x

cos x

tgx.

cos x

cos x

Откуда д фференциал дуги

длина

Сdl

y/

2

1

1

1

dx

1 tg2xdx

dx

dx.

cos2 x

cosx

бА

ледовательно,

дуги линии равна

3

1

l dl

dx.

l

0 cosx

Подынтегральная функция

1

рационально зависит от cos x.

сosx

Применяем универсальную подстановкуtg x t, тогда

2

1 t2

2

cos x

;

x 2arctgx;

dx 2 arctg t dt

dt.

1 t2

1 t2

x

1

1 t

2

2

Дtg 1

dx

dt

2

dt

2

ln

t

1

ln

2

1 t2

1 t2

2

t 1

cos x

1 t2

tg

x

1

2

x

И

ln

tg

.

2

4