Материал: 2276

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z

z2 x2 y2

0 z 4 .

и

3. Вычислить массу тела, ограни-

С

ченного

поверхностями

x2 y2 4;

x2 y2

1;

z 0;z 2

(рис.

90),

если

бА

функцией

плотность

задается

y

(x, y,z)

x y

.

x

x2 y2

Рис. 90

Вариант 23

Д

1.

Вычислить

тройной

интеграл

z

хdxdydz, где

V

V : y2 x2 2у ; z

x2 y2

.

И

2. Найти объем тела, ограниченного

поверхностями

x2 y2 z2 a2;x2 y2 z2;z 0(z 0).

y

3.

Вычислить

массу

тела, ограни-

ченного

поверхностями

z 0;

z 2;

х

2x x2 y2

(рис. 91), если плотность за-

Рис. 91

дается функцией (x, y,z) z

x2 y2

.

Вопросы и задания для самопроверки

1.

Как определяется масса неоднородного тела с заданной плот-

ностью?

2. Дайте определение интегральной сумме.

С

3.

Что называется тройным интегралом от данной функции по

заданной области?

4.

формул руйте условия, необходимые для интегрируемости

функц

в заданной области.

Рассмотрим задачу о нахождении массы неоднородной нити

С

(дуги

кривой, троса, провода, каната), если известна плотность

(x; y)

в каждой её точке. Разделим дугу на n достаточно малых уча-

величине

B

M i 1

Mi

M1

Pi

A

x

a

0

xi 1

xi

b

бА

Рис. 94

В каждой элементарной части

li выберем по

одной точке

i i;ni и вычислим плотность i;ni

в точке Ρi . Тогда масса эле-

ментарного участка l

приближенноДбудет равна ;n l .

i

i

i

i

Для массы всей дуги кривой получаем

m i;ni li .

(3.1)

i

И

Приближение (3.1) будет тем точнее, чем мельче будет разбие-

ние области l на элементарные части, т.е.

чем меньше будет наи-

m lim i;ni li ,

(3.2)

0 i

где наибольший из диаметров элементарных частей li ; диаметр

li – наибольшее расстояние между произвольными ее точками.

С

задана непрерывная

гладкая дуга АВ и в каждой точке этой дуги за-

Выражение

дана функц я f(Р). Дел м дугу

АВ на n элементарных частей li . В

каждой части li

выб

раем по одной точке Ρi i;ni li и составля-

ем выражен е

Ln

f Pi li .

(3.3)

i

Определен е 1.

вида (3.3) называется интегральной

суммой для функц

f P , если точки Pi лежат на дуге АВ.

Обознач м через наи ольший из диаметров элементарных об-

ластей li при раз иении дуги

В.

Определениеб2. Если существует предел

lim f Pi li ,

(3.4)

0 i

Д

и вы-

который не зависит отАВспособа разбиения дуги

на части li

чается

И

f x; y dl.

(3.5)

l