Материал: 2276

Пусть (x; y;z)

– плотность материальной трехмерной области

V , тогда её момент

нерции относительно координатных осей и на-

и

чала коорд нат выч сляются по формулам

СIox y2

z2 (x; y;z)dxdydz;

V

бА

Ioy

2

z2 (x; y;z)dxdydz;

x

V

Ioz y2

x2 (x; y;z)dxdydz;

V

Io

2

у2

z2 (x; y;z)dxdy.

(2.14)

x

Д

V

Статические моменты тела с плотностью (x;y;z)

относитель-

но координатных плоскостей вычисляются по формулам

Mxy z (x; y;z)dxdydz; Mxz y (x; y;z)dxdydz;

V

V

И

M yz x (x; y;z)dxdydz.

(2.15)

V

Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного шара ра-

диусом R и весом Р относительно его центра и диаметра.

Решение. Так как

объем шара V

4

R

3

, то его постоянная

3

3P

плотность (x; y;z)

. Поместим центр шара в начале коорди-

4g R3

нат, тогда его поверхность

будет определяться

уравнением

x2 y2 z2 R2.

Момент инерции относительно центра шара удобно вычислять в

сферических координатах, в которых

x2 y2

z2

R2преобразуется

к виду r2 R2, т.е.

0 r R, 0 ,

0 . Тогда по формулам

(2.12) и (2.14) имеем

С

r2r2 sin drd d

Io

2

у2

z2 (x;y;z)dxdy

x

V

V

2

R

2

r5

R

sin

r4dr

d d

sin

d

d

3

и0

5

0

0

0

0 0

0

R5 2

R5 2

R5 2

2

sin d d

cos

d

cos0 cos d

бА2 2 2 2 2 2

5

0 0

5

0

0

5

0

2 R5 2

d

2 R5

2

2R5

3P

3

P

R

2

5

5

5

4g R

2

5

g

.

0

Так как вследствие однородности и симметрии шара его момен-

ты инерции относительно лю ого диаметра равны,

вычислим момент

инерции относительно диаметра, лежащего, например, на оси Oz:

Ix

2

у2 (x; y;z)dxdy

x

V

(r

sin

cos

r

sin sin

)r

sin drd d

V

2

sin3

R

r2 sin2 r2 sin drd d

r4dr d d

V

0

0

0

2

r

5

R

R

5

Д

2

sin3

d

d

1 cos2

sin d d

5

5

0

0

0

0

0

R5 2

2

R5 2

cos3

1 cos

d cos d

cos

d

5

0

0

5

0

И3

R5 2

cos3

cos3 0

0

5

cos

3

cos0

3

d

0

4 R5 2

4 R5

2

4R5

3P

2 P

2

d

2

R

.

15

0

15

0

15 4g R3

5 g

Задачи для решения в аудитории

1.

Вычислить объем тела,

ограниченного цилиндром x y2 и

плоскостями x z 1,

z 0.

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

сферами

x2 y2

z2

1;x2

y2

z2

16

и конусом

z2 x2 y2 (тела, лежа-

щего внутри конуса).

3.

Найти коорд наты центра масс части однородного шара ра-

диусом R с центром в начале координат, расположенного выше плос-

Найти

кости 0ху.

С4. коорд наты центра масс однородного тела, ограничен-

ного плоскостями x y z а; x 0; y 0;z 0.

5. Выч сл ть момент

инерции

относительно

оси

однородного

бА

круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и радиусом основания R.

Ответы.

8

28

2

3

1 1

1

1. V

. 2.

V

C 0,0,

R . 4. C

a,

a,

a .

15

3

2

8

4 4

4

5. Iz

3 P

R

2

.

10 g

Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»

Вариант 1

1. Расставить пределы интегрированияДв тройном интеграле

f х, y,z dxdydz,

если область V ограничена указанными поверхно-

V

стями:

x 2, y 4х, у 3

,z 0,z 4. Начертить область интегри-

х

рования.

2. Вычислить с помощью тройного интегралаИобъём тела, огра-

ниченного поверхностями z у2,х 0,z 0,x y 2.

3. Вычислить y2 х2 dxdydz,

где V ограничена поверхностя-

V

ми: x2 y2 16, 1

x2 y2

z 1

x2 y2

.

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностью

x2 y2

z2 4(x 0, y 0,z 0), если плотность задается функцией

х, у,z x2 y2 z2.

Вариант 2

1.

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле

f х, y,z dxdydz, если область V ограничена указанными поверхно-

V

x 1, y 3х, у 0,z 0,z 2 х2 у2 .

стями:

Начертить область ин-

Ся.

2.

Выч сл ть с помощью тройного интеграла объём тела, огра-

ниченного поверхностями z 0; z x2;x 2y 2 0;x y 7.

тегрирован3. Выч сл ть

1

dxdydz, где V ограничена поверхно-

2

2

3

V

y

х

стями x2 y2 16; 1 x2

y2

z 1 x2

y2 .

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

4 x2 y2 z2 36;

x 0; y х; z 0,

если

плотность задается

функцией х, у,z y.

бА

V

стями: x2 y2

z; x 3; y х; у 0;z 0. Начертить область интег-

рирования.

Д

V

x2 y2

36; 3

x2

y2

z 1

x2 y2

.

4.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного поверхностями

4 x2 y2 z2 36;

x 0; y

х; z 0, если плотность задается

3

функцией х, у,z

у2

.

x2 y2

z2