Материал: 2276

Данный факт часто является основополагающим для выбора со-

ответствующей замены переменных при вычислении тройного инте-

грала.

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми x2+y2+z2=R2, x2+y2=z2 (z 0).

Решение. Так как искомое тело (рис. 65) ограничено снизу ко-

нусом z

x2 y2 ,

а сверху сферой x2

y2

z2

R2,

то воспользу-

емся сфер ческ ми координатами.

Z

x2+y2+z2=R2

Из формул (2.11) следует, что урав-

нение сферы x2+y2+z2=R2 преобра-

Сзуется

к

виду

x2+y2=z2

r2sin2 cos2 +r2sin2 sin2 +r2cos2 =R2

r=R.

Уравнен е конуса x2+y2=z2

0

y

примет в д

x

или2 2 2 2 2 2 2

2

r sin cos +r sin sin =r cos

Рис. 65

или tg2 =1, откуда угол между ра-

диусом-вектором, соединяющим

точки на границе сферы и цилиндра и осью 0z равен . Значит,

0 .

4

4

Согласно выражениям (2. 7) и (2.9) имеем

бА

R

R

d r2 cos

4

dxdydz r2 sin drd d dr d r

2sin d dr

4

V

V

0

0

0

0

R

2

2

2

R

2

2

R

Д2 2

dr d r

2

1

1

2

r

dr d

2

r dr

0

0

0

2 2 2

R

2

2 r

3 R

3

2 2

.

r2dr

R

2

0

3 0

3

И

Задачи для решения в аудитории

2. Вычислить тройной интеграл

1

dxdydz, ес-

V 1 x2 y2 z2

ли область V ограничена сферой x2 y2 z2

1 и плоскостями

х =

0; у = 0; z = 0.

С

y2 dxdydz, если область

3. Вычислить тройной интеграл x2

V

V огран чена сферами x2 y2 z2

1; x2 y2 z2

4.

4. Выч сл ть тройной интеграл zdxdydz, если область V огра-

ничена5. Выч сл ть тройной интеграл z x2

y2dxdydz, если об-

V

кон ческой поверхностью x2+y2=z2,

цилиндрической поверх-

ностью с образующей параллельной оси Oz x2+y2=R2 и плоскостью

z=0.

V

ласть V огран чена ц л ндрической поверхностью x2+y2=2х и плос-

костями у = 0; z = 0; z = 2.

Ответы

2

56

R4

Дz

32

1.

. 2.

. 3.

.

4.

. 5.

.

10

8б15 4А9

§3. Приложения тройных интегралов

1. Вычисление объёма тел

И

5

Объем области V (объем тела) обычно

вычисляют по формуле (2.7), в которой в трой-

ном интеграле можно переходить (если это

удобно) к различным координатам (цилиндри-

ческим, сферическим и др.).

Пример 1. Вычислить объем тела, огра-

ниченного

поверхностями

z 5 x2 y2 ,z 1.

у

Решение. По заданным уравнениям по-

верхностей в декартовых координатах строим

х

Рис. 66

область V (рис. 66). Область V

проецируется в область плоскости

x0y, ограниченную окружностью x2 y2

4.

Последнее уравнение получается как пересечение параболоида

z 5 x2 y2

и

плоскости

z 1.

Подставим

в

уравнение

С

(2.9),

получим

z 5 r2 . Откуда

z

5 x2

y2

формулы

1 z 5 r2 .

В цилиндрической системе координат уравнение ок-

ружности

меет в д

sin2 4; r2 4; r 2.

rcos 2

rsin 2 4; r2 cos2

области

до 2 ,

2

Знач т, в

меняется от 0

r от 0 до 2.

Тогда в ц л ндр ческой системе координат искомый объем V

равен

бА

2

2

5 r2

2 2

5 r2

V dxdydz rdrd dz

d rdr

dz

r z

1

dr

d

V

V

0

0

1

0 0

2

2

2 2

2 4r2

r4

r 4 r

2

dr d 4r r

3

dr d

d

2

0 0

0 0

0

4 0

2

2

2

4

2

2

2 2

8 .

4

d

4d 4

0

0

0

ДV

z

2. Вычисление массы трехмерной области V

Масса m тела, занимающего область V в случае, когда задается

плотность x, y,z , вычисляется по формуле (2.6)

И

m x,

y,

z dxdydz.

01(0;0;2)

тела,

Пример

2.

Вычислить

массу

ограниченного поверхностью

конуса z 2 2

x2

y2

и плоско-

стью

z 0 ,

если

плотность

тела

x, y,z z.

Решение. Вершина конуса на-

-2

0

2

у

ходится в точке 01(0, 0, 2). Для полу-

чения уравнения кривой, лежащей

при пересечении конуса с плоско-

х

стью х0у,

подставляем

z 0

в его

С

y2

, а снизу – плоскостью z 0

нической поверхности z 2 x2

. Тогда в цилиндрической системе координат [см. формулу (2.10)]

0 z 2

x2

y2

ли

0 z 2

rcos 2

rsin 2

,

т.е.

0 z 2 r.

Из

уравнения

окружности

x2 y2 4

получим

или

4,

0

rcos

2 rsin

2

4

r2

т.е.

0 r 2,

0 2 .

ледовательно, скомая масса m равна

бА

2

2

2 r

2

2

z

2

2 r

m zdxdydz

d rdr

zdz

r

2

dr d

V

0

0

0

0

0

2 2

2 r 2

1 2 2

1 2

r3

r4

2

r

dr d

4r 4r2

r3 dr

2r2 4

2

2 0 0

3

0 0

2 0

4

0

1 2 4

d

2

2

4

.

2

3

3

3

0

0

3. Вычисление координаты центра масс трехмерной

области V

И

Пусть (x; y;z) – плотность материальной трехмерной области

V , тогда координаты её центра тяжестиДвычисляются по формулам

x (x; y;z)dxdydz

y (x; y;z)dxdydz

xc

V

;

yc

V

;

(x; y;z)dxdydz

(x; y;z)dxdydz

V

V

z (x; y;z)dxdydz

zc

V

.

(2.13)

(x; y;z)dxdydz

Пример 3. Вычислить координаты центра масс однородного те-

ла V,

ограниченного

поверхно-

z

стями z2 y2 x, x 4.

Решение. Строим тело, ог-

y

z2 y2

x

раниченное

данными

поверхно-

стями (рис. 68). Область V огра-

ничена

поверхностью парабо-

лоида

z2 y2 x, отсеченного

0

4

x

плоскостью х = 4. Его проекция

4, т.е.

0 r 2,

0 2 , а

rилиcos rsin 4

r

на плоскость 0yz представляет

Ссобой круг, огран ченный ок-

ружностью z2 y2 4

радиусом

Рис. 68

бА4 2

2, уравнен е которой в цилинд-

рическ х коорд натах

меет вид

2

2

2

0 х z2

y2

ли rcos 2

rsin 2

x 4, т.е. r2 x 4. Вычис-

лим вначале в цилиндрических координатах массу тела, считая, что

его плотность x, y,z 1:

dxdydz

2

2

4

2 2

4

m

d rdr dх

rх

r2

dr d

V

0

0

r2

0

0

2 2

2

2 2

3

2

2

r

r 4 r dr d

4r r dr

2r

4

0 0

0 0

0

0

2

02

Д

4d 4

8 .

0

1

1 2

2

4

2

х

2

4

1 2

х

dxdydz

d rdr xdх

r

dr d

m

m

2

С

m V

0

0

2

0

0

2

r

r