Материал: 2276

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. В частности, если плотность равна единице, т.е. f x, y,z 1,
то масса тела численно совпадает с его объемом. Следовательно, объ-
ем тела можно вычислить по формуле
		V dxdydz.					(2.7)	z		z x,y
			V					z
			V
ледует подчеркнуть, что в декарто-
вой с стеме коорд нат область V удобно
разбивать на элементарные области плос-
костями,	параллельными				координатным
плоскостям; при этом элемент объема
С
dv = dxdydz.
ч таем о ласть V правильной т. е.										у
такой, что прямые, параллельные осям ко-										y
такой, что прямые, параллельные осям ко-
,	пересекают границу о ласти V не							х		z x, y
ординат								x		z x, y
более, чем в двух точках. Для правильной
области	V	справедливы				неравенства
(рис. 57) x, y z x, y ;						x, y .			Рис. 57
Если		не является правильной обла-							Рис. 57
Если		не является правильной обла-
	б
стью ни в одном из направлений, то для вычисления тройного интеграла
её следует разбить на части, правильные в направлении какой-либо из
координатных осей, и воспользоваться свойством аддитивности.
Перейдем к непосредственному вычислению тройного интегра-
			А
ла для правильной области. Для этого снова рассмотрим задачу о на-
хождении массы материальной трехмерной области V .										z x, y ,
Пусть область V				ограничена снизу поверхностью						z x, y ,
сверху –	поверхностью			z x, y ,			а с боков – цилиндрической по-
верхностью с образующей, параллельнойДоси 0z, и пусть проекцией
области V на плоскость 0xy						является область (см. рис. 57). Пусть,
далее, функция x, y,z выражает плотность в точке.
Для некоторой точки x,y области								выделим материальный
отрезок от точки x; y; x, y до точки x;y;Иx, y и вычислим мас-
су m x, y , спроецированную на этом отрезке по формуле
						x,y
				m x, y			x, y,z dz.
						x,y
						66

V dxdydz

dz dxdy0

Далее, спроецируем наше материальное тело V на область плоскости 0xy , получим материальную область, плотность которой в каждой точке x,y будет выражаться функцией m x, y . Массу полученной материальной области (которая совпадает с массой данного тела) можно вычислить при помощи двойного интеграла от функции m x,y по области :

x,y

x, y,z

m m x, y dxdy

dz dxdy.

x,y

Сдругой стороны, ыло доказано

m lim

i , i

, i dVi

x, y,z dxdydz.

образом

иТак м , для вычисления тройного интеграла от функции

f x,y,z по области V получим следующую формулу:

x,y

(2.8)

f x, y,z dxdydz

f x, y,z dz dxdy.

x,y

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного координат-

Д2

z y2

ными плоскостями, плоскостью 2x 3y 6 0

и поверхностью

(рис. 58).

Решение. Данное тело ограничено

снизу плоскостью z 0, сверху – поверх-

2x 3y 6 0

ностью z y2, т.е.

имеем

x, y 0,

x, y y . По формуле (2.7) имеем

z y

z\|y2 dxdy y2 dxdy.			у
0			y
		xх	y 6 2x

Полученный двойной интеграл вы-			3
числяем по области , которая является
проекцией	данного тела	на плоскость	Рис. 58

x0y

и ограничивается координатными осями и прямой 2x 3y 6 0,

или

y 6 2x;

поэтому

изменяется

в пределах

от

до

а y от 0 до z y 2 .

ледовательно,

6 2x

3 y3 6 2x

13 6 2x 3

3 3

V y2 dxdy

y2 dy dx

0 0

0 3

С4

1 3

6 2x

6 2x d 6 2x

162

270

6 2 3 4

334

162

Пример 2. Вычислить о ъем тела,

ограниченного поверхностя-

ми z x2 y2; y x2 ;

z 0; y 1(рис. 59).

Решение.

Данное

тело

ограничено

снизу

плоскостью

z 0,

сверху –

поверхностью

z x2

y2,

бА2 2

;

z x

т.е. имеем

x,y 0;

x,y 0. По формуле (2.6) имеем

y=1

x2 y2

2 y

2 dxdy

dz dxdy z|x

Д0

хx

x2 y2 dxdy.

yу

Полученный

двойной

интеграл

y x2

вычисляем поИобласти , которая яв-

ляется проекцией данного тела на

Рис. 59

плоскость

x0y

и ограничивается па-

раболой

z x2 y2

прямой

y 1

(см. рис. 59). Поэтому y изменяется от y x2

до

y 1, а x в преде-

лах от 1 до 1. Следовательно,

							2				2														1		1					2								2
V x							2		y		2	dxdy																x				2				y				2	dy
V x									y			dxdy																x								y					dy					dx
																									1 x2
		1			2		1					y3			1													1					2			1 x						2						1 x6
					2		1								1																		2									2
						y\|		2							\|			3
		x				y\|		2				3			\|	x		3	dx										x																		3				dx
		1					x					3				x											1																				3			3

		1			2					4		1								x3											1						2							1			4			1 1
					2					4																											2										4
						x																																dx x											dx		dx
		x				x																	dx x															dx x											dx		dx
		1										3 3																		1														1						3	1
	1										3										x	5		1					1							1				1					x	7	1
С1 6 x 1																					x			1					1							1				1					x		1
				x dx										\|										\|							x				\|												\|
		3 1									3 1									5					1				3							1				3 7								1
								3														5						1															1		1 1 7
			1		1								1				1											1	1						1								1
																													1						1
																																										4
и3 3 5 5 3																																										4

		1			1				1		1					1						1				1								1					88 .
																																							88 .
	3				3			5			5					3				3						21							21							105
На основании рассмотренных выше примеров можно выделить
основные этапы при решении таких задач:
																																			Д

1.1. ТройнойбАинтеграл вычисляется переходом к трехкратному, порядок интегрирования при этом выбирается по тем же соображениям, что и в случае двойного интеграла (см. гл. 1 §1). Если, например,

область интегрирования правильна по z, порядок расстановки пределов таков. Сначала область интегрирования V проецируют на плоскость 0ху, получают область σ. Область σ разбиваютИна минимальное число частей: σ1, σ2, …,σm так, чтобы над каждой частью σk (к=1, 2, т) уравнение как нижней, так и верхней границы области V задавалось бы одной формулой, например, z x, y и z x, y . Тогда функции x, y и x, y будут являться соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по переменной z. Пределы интегрирования по переменным х, у расставляются так, как указано в гл. 1.

1.2. В частном случае, когда область V представляет собой вертикальный цилиндр (аналитически это определяется тем, что в уравнения соответствующих поверхностей не входит переменная z), можно не строить область V, а сразу строить ее проекцию на плоскость

0ху.

Аналогично поступают и в тех случаях, когда область интегрирования V правильна по х или у.

					Задачи для решения в аудитории
1.				Вычислить тройной интеграл x y z dxdydz по области
						V
V, ограниченной плоскостями х = 0; х= 1; у = 0; у= 1; z = 0; z = 1.
		2. Выч сл ть тройной интеграл 1 y хzdxdydz, если область
						V
V огран чена плоскостями х = 0; у = 0; z = 0; z 1 х у.
С3. хdxdydz, если о ласть V ограничена цилиндром х2 у2 1

и				V	z = 0; z = 3.
и					z = 0; z = 3.
		4. Выч сл ть о ъем тела, ограниченного цилиндрами z 4 у2;
z у2 2					х = 1; х = 2.
плоскостями
						Ответы
	3		1		б
1.		. 2.			. 3. 0. 4. V 8.
2			144
					§2. Замена переменных в тройном интеграле
					А
		1. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической
					системе координат
						Д
						И

Один из способов замены переменных при вычислении тройного интеграла – переход в цилиндрическую систему координат. Делать такой переход имеет смысл, когда, например, проекция области интегрирования V на какую-либо из координатных плоскостей проще или удобнее описывается в полярных координатах.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET

Материал: 2276

§2. Замена переменных в тройном интеграле

Смотрите также: