Материал: 2276

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

z	z

z const

r const

N const

x r

Рис. 61

Р с. 60

Положен е точки М в пространстве в цилиндрической системе

коорд нат определяется

тремя

числами: z – аппликата точки,

– полярные

точки N – ортогональной проекции M

координаты

на плоскость X0Y(р

с. 60).

Коорд натными поверхностями цилиндрической системы коор-

динат

являются

z =

const

– плоскость,

параллельная

х0у,

r = const – цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной

оси 0z, и φ = const – плоскость, проходящая через ось 0z под углом φ к

оси 0x (рис. 61).

Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами

При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах внутренний интеграл, как правило, берётся по переменной z, за-

точек выражается формулами:
бА
x rcos ,
			(2.9)
y rsin ,.			(2.9)

z z.
	Д
		И

тем по r и в последнюю очередь по φ.

Очевидно, что элемент объёмаdV dz rdrd rdzdrd [см.

формулу (1.16)], поэтому формулу перехода от декартовых координат к цилиндрическим можно записать следующим образом:

f (x, y,z)dxdydz f (rcos ,rsin ,z)rdzdrd .		(2.10)
V	V

Пример 1. Вычислить массу параболоида x2 y2 2z,

ограни-

ченного плоскостью

z 2

(рис. 62),

если плотность распределения массы

z=2

задана функцией x,y,z x2 y2.

2z x2 y2

Решение. Согласно формуле

(2.6),

m x, y,z dxdydz

y2 dxdydz

yу

x,y

dz dxdy.

Рис. 62

x,y

Так как

ограничена снизу плоскостью z

, а

сверху плоскостью z 2, то x,y

; x,y 2.

область

Следовательно,

y2 dz dxdy

dz dxdy

y2 z|2

dxdy x2 y2 2 x

dxdy

2 x2

y2 x

dxdy.

Полученный двойной интеграл вычислим в полярной системе

координат. Область V проецируется в область плоскости x0y, ог-

раниченную окружностью x2 y2

4. Последнее уравнение получе-

но в результате исключения z

из уравнения плоскости z 2

и пара-

болоида 2z x2

y2 . В полярной системе координат уравнение ок-

ружности имеет вид rcos 2	zsin 2	4;	r2 cos2 sin2 4;
r2 4; r 2. Значит,в области меняется от 0 до 2 , r от 0 до 2.
Итак,

С
										y2 x										2					2	2
m 2 x2										y2 x												y						dxdy
																							2

	2	2																									r		2			2		r				2	sin		2			2
		2 r2 cos2 r2 sin2																									r			cos				r					sin							rdr		d
		2 r2 cos2 r2 sin2																																		2										rdr		d
	0	0																																		2

	2 2												r	4												2 2											r	5
							r	2					r				rdr					d										r			3		r			dr				d

					2																									2

z 6 x								бАy и конусом z x y .
	0		0								2															0				0							2
и2 2 2 2																															2r			4				1		r	6
														1																	2r					\|2		1		r		\|2
					2r		3 dr									r			5 dr d																	\|2						\|2		d
	0 0													20																	4					0		2 6					0
	0 0													20														0			4							2 6
	2			2 24								26										82								8			2				8						16
															d									d								\|	0						2								.
															d									d								\|							2								.
					4						12											3 0								3							3							3
	0				4						12											3 0								3							3							3
																	2				2											Д
				Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
						2					2															2					2					2
				Решение. Так как искомое те-																																									z
ло (рис. 63) ограничено снизу кону-																																																z 6 x					2	y			2
																																												И
сом			z						x2 y2 , а сверху парабо-																																			И
сом			z						x2 y2 , а сверху парабо-																																								z		2	x			2	y		2
лоидом							z 6 x												y				, то,					подстав-																							2				2			2


ляя								в									формулу														(2.7)
ляя								в									формулу														(2.7)
x,y									x2 y2									;
x,y 6 x2 y2;																				f x, y,z 1,

																																																		yу

																																							хx
																																							хx
																																															Рис. 63
																																															Рис. 63

получим

	6 x2 y2
V		dz	dxdy

		x2 y2

				6 x			2 y2										6 x		2				2				2				2	dxdy.
		z\|							dxdy											y						x		y
		z\|				x2	y2		dxdy											y						x		y
						x2	y2
		Полученный двойной интеграл вычисляем в полярной системе
коорд нат. Область													V				проецируется в область плоскости x0y, ог-
уравнение																								4.
раниченную окружностью x2																				y2				4.
СПоследнее																			получается как пересечение параболоида
z 6 x2							y2				конуса z2 x2											y2. Исключим x2															y2 из уравнения
конуса								бА																														z 6 z2 ;
конуса							подстав м											уравнение параболоида,																		получим		z 6 z2 ;
z2 z 6 0.																																					z1 3	и z2 2.
		Этому							уравнен ю									удовлетворяют											значения								z1 3	и z2 2.
Подставляя z 2 в уравнение конуса z2																													x2				y2, получаем искомое
уравнение окружности x2 y2																					22,				или x2 y2 4.
		В полярной системе координат уравнение окружности имеет вид
		rcos 2 rsin 2																4;		r2 cos2 sin2 4;																	r2 4,	r 2.
		Значит, в области																					Д
		Значит, в области															меняется от												0		до			2	, r от 0 до 2.
		Итак,
		2 2												2									2									2					2
V 6 rcos																rsin										r cos								rsin r dr d =
		0		0
2 2																				2 2
2 2			6 r2								r2 r dr									2 2				6 r2
			6 r2								r2 r dr						d							6 r2					r r dr d
	0 0																			0		0
2 2									2 3				2 2									2 6r2					2			r4		2 r3			2
					r dr					r dr				r dr d
		6
		6																									\|0					Иd
	0 0								0				0										0		2				4					3
2								8				16 2							16				2		32			.
2								8				16 2							16				2		32
12 4									d						d
12 4									d						d
0								3			3				0				3				0		3
0								3			3				0				3				0		3

2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат

	z				В сферических координатах по-
	z			ложение точки М в пространстве опре-
		M(r, , )		деляется тремя числами (r ): r –
				длина радиуса-вектора точки М; –
				угол между радиусом-вектором
	r			угол между радиусом-вектором			ОМ и
	r		y	осью 0Z; – угол между		ортогональ-
	0		y	осью 0Z; – угол между		ортогональ-
и
С				ной проекцией ОN радиуса-вектора и
				осью 0Х, отсчитываемый в положи-
		N		осью 0Х, отсчитываемый в положи-
x				тельном направлении (рис. 64).
x				тельном направлении (рис. 64).
	Р с. 64				Для любой точки пространства
	бА
				M(r ), очевидно, сферические коор-
				динаты удовлетворяют		условиям:
r (		ли ), .
Связь между сферическими и декартовыми координатами то-
чек выражается формулами (см. рис. 64)
x ON cos ;					x=rsin cos ;
						(2.11)
y ON sin ; ON rsin y=rsin sin ;						(2.11)

z=rcos ;					z=rcos .

			Д
		Нетрудно убедиться, что элемент объёма dV r2 sinθ drd dθ,
поэтому формулу перехода от декартовых координат к сферической
системе координатам можно записать следующим образом:
f (x, y,z)dxdydz					И
V
		f (rsin cos ,rsin sin ,rcos )			2sin drd d .		2.12
				r

	V	Сферические координаты удобны в тех случаях,				как правило,

когда область интегрирования V ограничена сферическими поверхностями. При вычислении тройного интеграла в сферических координатах внутренний интеграл, как правило, берётся по переменной r. Наиболее просто определяются пределы интегрирования, если область V ограничена координатными поверхностями, так как в этом случае пределы интегрирования внутреннего и среднего интегралов будут постоянными.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET