Материал: 2276

Вариант 23

1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования

2

4

x

dx f (x;y)dy .

1

x2

2. Выч сл ть:

2

1

2

1) dy (4xy 1)dx;

0

1

С

2

2) dx ysin ydy;

1

0

и3) хуdxdy, где D: х 0; y 2;х 1; у

х ;

D

4) D

dxdy

3

у

у

у

, где D : ху 6; у 2 х; у 6

;

5)

хуdxdу

, где D : x

2 y2

2х;

x

2

y

2

D

бА

первая четверть;

6)

х2dxdу

, где D : x2 y2

1;

x

2 y

2

D

Д

x2 y2

1 .

4

х

х

3.

Вычислить массу материальной

Рис. 54

пластины

плотностью

(x, y) x y,

И

если она ограничена линиями (рис. 54)

Вариант 24

1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования

1

1 x2

dx

f (x;y)dy.

1

0

2. Выч сл ть:

2 dx

1 x

(x 1) dy

;

1)

3

Сy

1

1 x2

2

1

0

2) dy (4x y 3)dx;

0

1

и

3)

4хуdxdy, где D: х 0; y 0; у 1;х у 2;

D

2

4) D х dxdy, где D : у х2; y х;

у у

х 1;

2

2

2

бА

5) у

x

y

dxdу,

D

где D : x2 y2

1;

x2 y2 4; у 0;

хdxdу

Д

хх

6)

, где D : x2 y2 2y.

ИРис.

D

x2 y2

3. Вычислить массу материальной

пластины

плотностью

(x, y) x y,

если она ограничена линиями (рис. 55)

ментарные части

Vi. В каждой части

Vi

выбираем по одной точке

Pi i , i, i

выч

сляем в ней значение плотности i , i , i

. То-

гда масса

элементарного объема

Vi

приближенно будет

равна

прибл

получим

i , i , i

Vi. Для массы, заключенной во всем объеме V ,

Сжен е [6]

m i

, i, i

Vi .

(2.1)

бА

i

Как

в предыдущ х случаях, можно принять

m lim i , i, i

Vi ,

(2.2)

0 i

где наибольший из диаметров элементарных областей

Vi при

данном разбиении.

Выражение вида (2.2) возникает при решении других задач. В

Д

связи с этим даются следующие определения.

Пусть функция f x, y,z определена в некоторой пространст-

венной ограниченной замкнутой области V . Разделим область V на

n элементарных частей Vi. В каждой части

Vi выберем по одной

точке Pi i , i , i и составим выражение

Sn f ( i , i , i ) Vi .

(2.3)

Определение. Выражение (2.3) называется интегральной сум-

мой для функции f x, y,z в области V .

И

Определение. Если существует предел

S lim f i, i, i Vi,

(2.4)

0 i

который не зависит от способа деления области V на части

Vi

и вы-

С

, i , то этот предел называется тройным интегра-

бора точек Pi i, i

лом от функции по области V и обозначается

f x,y,z dV , или

f x, y,z dxdydz.

или

V

V

Здесь f x, y,z называется подынтегральной функцией; V об-

ластью

нтегр рован я;

x,y и z переменными интегрирования; dV

(

образом

dxdydz)

элементом о ъема.

Так м

, по определению,

f x,y,z dxdydz lim f i, i , i Vi .

(2.5)

V

0 i

Функция

f x, y,z называется интегрируемой в области V . Вся-

кая

непрерывная

в ограниченной

замкнутой области V

функция

f (x, y,z)

интегрируема в ней. В дальнейшем мы ограничимся рас-

Д

смотрением только непрерывных функций.

Многие отмеченныеАв § 1 гл.1 свойства двойных интегралов

справедливы и для тройных интегралов, поэтому приведем только те

их свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных ин-

тегралов.

1. Таким образом, тройной интеграл (2.5) от произвольной

функции

f x, y,z

по области V можно интерпретировать как массу

материальной области V

с плотностью распределения массы,

задан-

ной функцией

f x, y,z .

В случае, когда подынтегральная функция

f x, y,z

задает плотность x, y,z тела, занимающего область V,

тройной интеграл выражает массу этого тела:И

m x, y,z dxdydz.

(2.6)

V