Материал: 1973
Край шарнирно опертый (рис.3.5, а).
В узле (x:y) имеем v(x:y)=0 и M x D( |
2v |
|
2v |
) 0. |
|
x 2 |
y 2 |
||||
|
|
|
Поскольку опора в узле (x:y) предполагается жесткой в направлении оси Y, то ∂2v/∂y2=0. Поэтому условие опирания Mx=0 можно записать в виде ∂2v/∂x2=0, что в конечно-разностном виде будет иметь вид
v( x 1:y) 2v( x:y) v( x 1:y) |
0; |
то есть |
|
x 2 |
|||
|
|
||
v( x 1:y) v( x 1:y) . |
|
(3.14) |
Следовательно, величина прогиба в узле за контуром равна величине прогиба в узле, ближайшего к контуру, с обратным знаком.
Край жестко защемлен (рис.3.5, б).
В узле (x:y) имеем v(x:y)=0 и ∂v/∂x=0.
Это равенство в конечно-разностной форме имеет вид
v |
|
v( x 1:y) v( x 1:y) |
; |
откуда |
|
x |
|
2x |
|||
|
|
|
|
||
|
v( x 1:y) |
v( x 1:y) . |
|
(3.15) |
|
Следовательно, величина прогиба в узле за контуром равна величине прогиба в узле, ближайшего к контуру.
Свободный конец (рис.3.5, в) Согласно уравнениям 3.4 и 3.7 имеем
2 v |
|
2 v |
0 |
и |
3v |
(2 |
) |
d 3v |
0. |
|
|||
x 2 |
y 2 |
x3 |
x y 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Для точки (x:y) эти уравнения запишутся в виде |
|
||||||||||
|
|
v( x 1:y) 2v( x:y) v( x 1:y) |
|
v( x:y 1) 2v( x:y) v( x:y 1) |
0; |
||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
||
v( x 2: y) 2v( x 1: y) 2v( x 1: y) v( x 2: y) (2 )
2 y3
v( x 1: y 1) v( x 1: y 1) 2v( x 1: y) 2v( x 1: y) v( x 1: y 1) v( x 1: y 1) 0.
2 x y2
(3.16)
(3.17)
Отсюда выражаются значения прогибов в узлах v(x 1:y) , v(x 2:y) .
46
Пример 3. Расчет шарнирно опертой изгибаемой пластины методом конечных разностей
Для стальной прямоугольной пластины размерами 3х2 м, толщиной 5 мм требуется построить эпюры прогибов v, изгибающих моментов Mx и My, крутящего момента Mxy, поперечных сил Qx и Qy. Пластина имеет шарнирное опирание по контуру и загружена равномерно распределенной нагрузкой q=100 кгс/м2 (рис. 3.6).
Для получения результатов с достаточной для инженерных расчетов точностью разобьем на нашей пластине сетку с шагом
x =Lx/10 и y =Ly/10.
Рис.3.6. Расчетная схема пластины
Решение
Определим цилиндрическую жесткость пластины и запишем все исходные данные в ячейках листа MS Excel, как показано в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Исходные данные
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
Lx, м |
3 |
длина пластины по оси X |
Ly, м |
2 |
длина пластины по оси Y |
h, м |
0,005 |
толщина пластины |
x, м |
0,3 |
шаг пластины по оси X |
y, м |
0,2 |
шаг пластины по оси Y |
ПАРАМЕТРЫ МАТЕРИАЛА ПЛАСТИНЫ |
||
E, кгс/м2 |
21 000 000 000 |
модуль упругости |
μ |
0,3 |
коэффициент Пуассона |
|
ЖЕСТКОСТЬ ПЛАСТИНЫ |
|
D, кгс*м |
240,384 615 4 |
|
|
НАГРУЗКА НА ПЛАСТИНУ |
|
q, кгс/м2 |
-100 |
равномерно-распределенная |
|
|
нагрузка |
47
Поскольку направление нагрузки противоположно оси Z, то в ячейку она записывается с обратным знаком.
Определяем коэффициент α по формуле
α = y2/ x2= 0,22/0,32=0,444.
В соответствии с графическим изображением формулы (3.3) (см.рис.3.3) определим коэффициенты, находящиеся при значениях прогиба v и запишем их в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Коэффициенты при значениях прогиба
α |
0,444 |
x-2 |
x-1 |
x |
x+1 |
x+2 |
|
y+2 |
0 |
0 |
2,25 |
0 |
0 |
|
y+1 |
0 |
2 |
-13 |
2 |
0 |
|
y |
0,444 |
-5,777 |
24,166 |
-5,777 |
0,444 |
|
y-1 |
0 |
2 |
-13 |
2 |
0 |
|
y-2 |
0 |
0 |
2,25 |
0 |
0 |
Создадим на листе MS Excel поле, в котором будет происходить определение прогибов. Запишем в нем номера и координаты точек по оси X и Y. Поскольку пластина имеет опирание по контуру, то вертикальные перемещения (прогибы) на контуре равны нулю (табл. 3.3). Поэтому в ячейки, расположенные на границе контура, запишем v = 0. Поля по периметру необходимы для описания законтурных точек, через точки внутреннего контура.
Таблица 3.3
Расчетная таблица
48
Вычислив из уравнения (3.3) значение прогиба в точке (x:y) и при помощи коэффициентов, определенных выше (см. табл. 3.2), заполняем ячейку в поле с координатами (0,3:0,2) (табл.3.4).
Таблица 3.4
Описание расчетной ячейки
Во время написания формулы в ячейке с координатами (0,3:0,2) часть ссылок попадут в ячейки, расположенные за контуром. Поскольку опирание пластины шарнирное, то заполнение законтурных ячеек будем производить в соответствии с формулой (3.14).
После заполнения законтурных ячеек поле будет выглядеть следующим образом (табл. 3.5). Поскольку внутренние ячейки поля пока еще не заполнены, то во всех законтурных точках будут нули.
Таблица 3.5
Описание законтурных ячеек
После этого формулу в ячейке с координатами (0,3:0,2) можно растянуть на все поле. Если посмотреть на формулы в ячейках поля,
49
то можно увидеть, что все ячейки связаны между собой ссылками. Такие ссылки в MS Excel называются циклическими. Для их решения применяется встроенный алгоритм по определению значений в ячейках, содержащих циклические ссылки. Определение значений происходит итерационным методом автоматически. Активация автоматического решения происходит во вкладке “Параметры Excel”, меню “Формулы” (рис. 3.7). Подбор значений прогибов происходит до тех пор, пока вся система не придет в равновесие (табл. 3.6).
Рис.3.7. Параметры Excel
Таблица 3.6
Прогиб пластины
Из табл. 3.6 видно, что максимальный прогиб в середине пластины составляет 51,35 мм (рис. 3.8).
Далее, в соответствии с формулами (3.9) – (3.13), происходит определение внутренних усилий в пластине. Эпюры внутренних усилий представлены на рис. 3.9 –3.13 и табл. 3.7 – 3.11.
50