Материал: 1973
|
|
|
|
Окончание табл. 3.13 |
|
ПАРАМЕТРЫ МАТЕРИАЛА ПЛАСТИНЫ |
|||
|
E, кгс/м2 |
21 000 000 000 |
|
модуль упругости |
|
μ |
0,3 |
|
коэффициент Пуассона |
|
|
ЖЕСТКОСТЬ ПЛАСТИНЫ |
||
|
D, кгс*м |
240,3846154 |
|
|
|
|
НАГРУЗКА НА ПЛАСТИНУ |
||
|
q, кгс/м2 |
-100 |
|
равномерно-распределенная |
|
|
|
|
нагрузка |
Определяем коэффициент α по формуле |
||||
|
|
α = y2/ |
x2= 0,22/0,22=1. |
|
В соответствии с графическим изображением формулы (3.3) (см.рис.3.3) определим коэффициенты, находящиеся при значениях прогиба v и запишем их в табл. 3.14.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.14 |
|
|
|
Коэффициенты при значениях прогиба |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
1 |
x-2 |
x-1 |
x |
x+1 |
|
x+2 |
|
y+2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
y+1 |
0 |
2 |
-8 |
2 |
|
0 |
|
|
y |
1 |
-8 |
20 |
-8 |
|
1 |
|
|
y-1 |
0 |
2 |
-8 |
2 |
|
0 |
|
|
y-2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
Создадим на листе MS Excel поле, в котором будет происходить определение прогибов. Запишем в нем номера и координаты точек по оси X и Y. Пластина имеет опирание с трех сторон, поэтому вертикальные перемещения на них равны нулю v=0. Четвертая сторона – это свободный конец и на нем всегда будут присутствовать какиелибо перемещения. Поля заполняются аналогично примеру 1.
Три стороны пластины имеют жесткое крепление, поэтому заполнение законтурных точек будет производиться по формуле (3.15). Ячейки свободного конца заполняются в соответствии с формулами (3.16) и (3.17). Причем первый ряд законтурных ячеек заполняется из условия отсутствия момента на свободном конце. Второй ряд – из условия отсутствия поперечной силы.
После этого формулу в ячейке с координатами (0,2:0,2) можно растянуть на все поле. После заполнения всех ячеек поля Excel автоматически подберет значения прогибов. Эпюра прогибов приведена на рис. 3.15, значения прогибов в табл. 3.15.
56
Таблица 3.15
Прогиб пластины
Рис.3.15. Эпюра прогибов v
Определение внутренних усилий в пластине происходит в соответствии с формулами (3.9) – (3.13) аналогично примеру 1.
При помощи функций поиска минимальных и максимальных значений составляем таблицу с результатами расчета (табл. 3.16)
|
|
|
|
Таблица 3.16 |
|
|
Результаты расчета |
||
|
|
|
|
|
Vmax, мм |
-21,06 |
|
максимальный прогиб пластины |
|
Mx max, кгс*м/м |
|
21,60 |
изгибающий момент |
|
Mx min, кгс*м/м |
|
-6,78 |
изгибающий момент |
|
Mу max, кгс*м/м |
|
35,17 |
изгибающий момент |
|
Mу min, кгс*м/м |
|
-17,60 |
изгибающий момент |
|
Mxу max, кгс*м/м |
|
3,87 |
крутящий момент |
|
Mxу min, кгс*м/м |
|
-3,87 |
крутящий момент |
|
Qx max, кгс/м |
|
31,80 |
поперечная сила |
|
57
|
|
Окончание табл. 3.16 |
|
|
|
Qx min, кгс/м |
-61,61 |
поперечная сила |
Qу max, кгс/м |
85,47 |
поперечная сила |
Qу min, кгс/м |
-85,47 |
поперечная сила |
3.2. Расчет стержней методом конечных разностей
Уравнение изогнутой оси стержня имеет вид
|
|
4v |
|
q |
, |
|
|
|
(3.18) |
|
|
x 4 |
D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где v – вертикальные перемещения (прогиб) стержня, |
|
|
|
||||||
D – изгибная жесткость стержня. |
|
|
|
|
|
||||
Для стержней |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D = EI, |
|
|
|
(3.19) |
|||
где I – момент инерции поперечного сечения стержня (м4). |
|
||||||||
В конечно-разностном виде для произвольной точки стержня, |
|||||||||
при постоянном шаге, уравнение (3.18) принимает вид |
|
|
|||||||
|
v(x 2) 4v(x 1) 6v(x) |
4v(x 1) v(x 2) |
|
q |
. |
(3.20) |
|||
|
|
x 4 |
|
|
D |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя уравнение (3.20), найдем значения прогибов для всех точек стержня, получим систему взаимосвязанных уравнений, которые легко решить в системе MS Excel.
Описание граничных условий происходит аналогично граничным условиям пластины (3.14) – (3.17).
Формулы для определения внутренних усилий имеют вид
M D( |
v |
(x 1) : 2v |
(x) v (v 1) |
); |
|
(3.21) |
||
|
x2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Q D( |
v (x 2) 2v (x 1) |
2v( x 1) |
v(x 2) |
). |
(3.22) |
|||
|
2 x3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Расчет изгибаемого стержня методом конечных разностей
Для стального стержня требуется сечением bxh = 5x5 см пролетом Lx=3 м построить эпюры прогибов v, изгибающих моментов My и
58
поперечных сил Qx. Стержень имеет шарнирное опирание по концам и загружен равномерной погонной нагрузкой q=100 кгс/м (рис. 3.16).
Для получения результатов с достаточной для инженерных расчетов точностью разобьем на нашей пластине сетку с шагом x
=Lx/10 и y =Ly/10.
Рис.3.16. Расчетная схема стержня
Решение
Определим изгибную жесткость стержня и запишем все исходные данные в ячейках листа MS Excel, как показано в табл. 3.17.
Таблица 3.17
Исходные данные
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
Lx, м |
3 |
длина стержня |
|
b, м |
0,05 |
ширина сечения |
|
h, м |
0,05 |
высота сечения |
|
x, м |
0,3 |
шаг стержня |
|
Jy , м4 |
5,20E-07 |
момент инерции поперечного сечения |
|
|
ПАРАМЕТРЫ МАТЕРИАЛА СТЕРЖНЯ |
|
|
E, кгс/м2 |
2,1E+10 |
модуль упругости |
|
|
НАГРУЗКА НА ПЛАСТИНУ |
|
|
q, кгс/м |
-100 |
равномерная погонная нагрузка |
|
Создадим на листе MS Excel строку, в которой будет происходить определение прогибов. Запишем в нем номера и координаты точек по оси X. Поскольку пластина имеет шарнирное опирание по концам, то вертикальные перемещения (прогибы) на контуре равны нулю. Поэтому в ячейки, расположенные на концах стержня, запишем v=0. Описание законтурных точек будем производить через точки внутреннего контура согласно формуле (3.14).
Вычислив из уравнения (3.20) значение прогиба в точке (x), заполняем ячейку с координатой (0,3). После этого формулу в ячейке
59
можно растянуть на всю строку. После заполнения всех ячеек строки Excel автоматически подберет значения прогибов.
Далее, в соответствии с формулами (3.21) – (3.22), происходит определение внутренних усилий в стержне (рис. 3.17). Поскольку угол поворота стержня вокруг оси Y является производной первого от прогиба, то его также можно выразить через значения прогибов
(табл.3.18).
Рис.3.17. Эпюра прогибов w, внутренних усилий My и Q, угла поворота,φ
При помощи функций поиска минимальных и максимальных значений составляем таблицу с результатами расчета.
Таблица 3.18
Расчетная таблица
60