Документ: Все лекции, страницы 101-105 | Студенческое хранилище

7

Покажем это. Направим ось по оси вращения. Как известно из курса физики, линейная скорость точки равна векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор точки :

= × .

Найдем координатные функции вектора .

Так как вектор угловой скорости направлен по оси ,

то имеем {0, 0, }.

Тогда для любой точки ( , , ) можно вычислить координаты вектора с помощью определителя 3-го порядка:

0

Рис. 4.7. Векторное поле линейных скоростей

0

| = − |

= |0

| = −∙ + ∙ {− , , 0}.

Таким образом, поле линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной

угловой скоростью вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле:

( , )∙ + ( , )∙ ,

для которого ( , ) = −, ( , ) = .

=

Еще один пример плоского векторного поля дает

магнитное поле, создаваемое бесконечным проводником

электрического тока (рис. 4.8).

Это следует из формулы для вектора напряженности

магнитного поля, создаваемого электрическим током :

= ,

= 2∙( × ),

где

- радиус-вектор точки, - расстояние от точки

до проводника

Действительно, после введения декартовой системы

Рис. 4.8. Магнитное

координат так, чтобы вектор был направлен по оси ,

поле напряженности

получим:

=

∙ |0

0

| = −

∙|

| =

∙(− ∙ + ∙ ) {−

∙ ,

∙ , 0}.

2

Таким образом, магнитное поле , создаваемое бесконечным проводником

электрического тока , есть

плоское векторное поле: = ( , )∙ + ( , )∙ , для

которого ( , ) = −

∙ ,

( , ) =

∙ , где 2 = 2 + 2,

= | |.

2

4.2.2. Векторные линии и векторные поверхности

Наглядной геометрической характеристикой векторного поля является семейство

векторных линий этого поля.

Определение 4.8.

Векторной линией векторного поля { = ( ), } называется линия,

касательная к которой в каждой точке имеет направление вектора ( ). Примером векторных линий являются силовые линии в электромагнитном поле

(рис. 4.9).

8

В случае стационарного (т.е. не зависящего от времени) течения жидкости (или газа) векторные линии можно рассматривать как траектории движения частиц этой жидкости (или газа), т.е. линии тока.

Составим уравнения этих векторных линий.

= ( )

Пусть : { = ( ), [ ; ] – параметрические

= ( )

уравнения гладкой векторной линии векторного поля

Рис. 4.9. Силовые линии

( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ .

электромагнитного поля

Как известно, касательным вектором к линии

в точке ( ( ), ( ), ( )) является вектор {′( ), ′( ), ′( )} (см. п. 3.1.3).

Из условия коллинеарности векторов:

- получаем пропорциональность

соответствующих координат этих векторов:

′( )

=

′( )

=

′( )

=

.

( , , )

Полученные уравнения составляют систему дифференциальных уравнений векторных линий:

( , , ) = ( , , ) = ( , , ) .

Эта система может быть записана и в виде нормальной системы дифференциальных уравнений:

= ( , , ) { ( , , )

= ( , , )( , , )

′( ) = ( , , )

{ ( , , ),′( ) = ( , , )( , , )

где = ( ) и = ( ) – искомые функции.

В случае плоского векторного поля: ( ) = ( , )∙ + ( , )∙ - получаем следующую систему дифференциальных уравнений векторных линий:

					{ ′( ) =	( , )
	=		=			( , )

						( , ).
( , )		( , )		0		( , ).
( , )		( , )		0	=

Замечание 4.3.

Пусть векторное поле { = ( ), } задается непрерывно-дифференцируемой

вектор - функцией ( ), которая нигде не обращается в нулевой вектор. Тогда можно доказать, опираясь на теоремы существования решений дифференциальных уравнений, что вся рассматриваемая область заполняется векторными линиями.

При этом через каждую точку области проходит одна и только одна такая линия. Векторные линии между собой не пересекаются.

Пример 4.7.

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси .

Решение.

Линейная скорость определяется равенством: = −∙ + ∙ (см. п. 4.2.1). Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий:

9

					′( ) = −
	=	=		{		.
−			0		=

Первое уравнение этой системы является дифференциальным уравнением с

разделяющимися переменными. Найдем его решение методом разделения переменных и

последующего интегрирования:

=

∙ = −∙ ∫ + ∫ =

−

2

= 2

2

+

2

=

+

= 1, 1

≥ 0.

Таким образом, векторные линии

задаются системой уравнений:

{

2 + 2 =

= , ≥ 0,

1, где ,

= 2

1

2

1

и представляют собой концентрические

окружности с центрами на оси , лежащие

в плоскостях, перпендикулярных этой оси

(рис. 4.10).

O

Ответ:

{

2

+ 2 =

, = ,

≥ 0.

1,

= 2

1

2

1

Пример 4.8.

Рис. 4.10. Векторные линии

Найти векторные линии магнитного поля

в Примерах 4.7 и 4.8

бесконечного проводника тока: =

2∙( × ), = ,

где

- радиус-вектор точки, - расстояние от точки до проводника.

Решение.

Магнитное поле

бесконечного проводника тока задается формулой (см. п. 4.2.1):

= − 2∙ ∙ + 2∙ ∙ .

Составим и решим систему дифференциальных уравнений векторных линий:

′( ) = −

2 + 2 =

=

{

1, ,

= .

1 2

0

−

0

= 2

− 2∙

2∙

=

Векторные линии здесь также представляют собой концентрические окружности с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси (рис. 4.10).

Ответ: { 2 + 2 = 1, 1, 2 = , 1 ≥ 0.= 2

Пример 4.9.

Найти векторную линию векторного поля ( ) = − + + , = ,

проходящую через точку (1, 0, 0).

Решение.

{

=

.

Дифференциальные уравнения векторных линий:

=

−

=

2 + 2 = { = √1

∙ (при ≥ 0);

=

√

1∙

=

−

1

√1∙

= √1

∙

= = + 2. Параметрические уравнения векторных линий имеют вид:

10

= √1 ∙

	∙ , −∞ < < +∞. Векторная линия проходит через точку (1, 0, 0),
{ = √
1
= + 2
	1 = √1 ∙
		∙ .
следовательно, имеем: {0 = √		∙ .
1
	0 = + 2
Решая эту алгебраическую систему
Решая эту алгебраическую систему
относительно 1, 2, получим: 1 = 1, 2 = 0.
Ответ: Векторной линией является винтовая линия:			1
Ответ: Векторной линией является винтовая линия:
	=
: { = , −∞ < < +∞ (рис. 4.11).

	=	Рис. 4.11. Винтовая линия
		из Примера 4.9
	Пример 4.10.

Найти векторную линию векторного поля ( ) = + + , проходящую через точку (2, 1, 0).

Решение.


			′( ) =
			′( ) =
Дифференциальные уравнения векторных линий:	=	=	{ ′( ) =	.
Дифференциальные уравнения векторных линий:	=	=		.

Решая каждое из двух уравнений с разделяющимися переменными, получим:

:

{

2 − 2

=

= 3

2 − 2 =

1. Подставляя точку (2, 1,

0), получим: { 1

2 = 4

2

:

{

2 − 2

= 3

- линия пересечения двух гиперболических цилиндров

и ,

2 − 2

= 4

1

2

где :

2 − 2 = 3 - гиперболический цилиндр с образующей, параллельной оси и с

1

направляющей гиперболой, лежащей в плоскости (рис. 4.12);

: 2

− 2 = 4 - гиперболический цилиндр с образующей, параллельной оси

и с

2

направляющей гиперболой, лежащей в плоскости (рис. 4.13).

2

− 2 = 3

2

− 2 = 4

O

Рис. 4.12. Гиперболический

Рис. 4.13. Гиперболический

цилиндр

−

=

цилиндр

−

=

Ответ: Векторная линия : { 2 − 2 = 3 - линия пересечения двух гиперболических

2 − 2 = 4

цилиндров.

11

Векторные поверхности и векторные трубки.

Поверхности, составленные из векторных линий, называются векторными поверхностями.

Векторная поверхность характеризуется тем, что в каждой ее точке вектор( ) лежит в касательной плоскости к данной поверхности в этой точке (рис. 4.14) и,

следовательно, ортогонален вектору нормали
следовательно, ортогонален вектору нормали	в этой точке:		( ) ( ) .
Векторную поверхность можно
построить мысленно следующим образом.
Если взять в рассматриваемой области
Если взять в рассматриваемой области
какую-нибудь линию 0 («направляющую»),	0
отличную от векторных линий, и через	0
отличную от векторных линий, и через
каждую ее точку провести векторную линию,
то множество всех точек этих векторных линий			( )
и образует векторную поверхность.			( )
и образует векторную поверхность.
В случае, когда эта «направляющая»
является замкнутой линией, получается		Рис. 4.14. Векторная трубка
трубкообразная векторная поверхность,
которая называется векторной трубкой (рис. 4.14).

4.2.3. Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Пусть имеется векторное поле { = ( ), } и ориентированная поверхность. По аналогии с п. 3.3.2 определим поток П векторного поля через поверхность по направлению вектора 0 как поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции ( ):

П( )∙

== ( ∙ 0)

Если - замкнутая поверхность, ограничивающая некоторое тело Ω, то поток записывается в виде:

П =
П =	( )∙ = ( ∙ 0)

В этом случае за направление вектора нормали принимается внешняя нормаль
(поток изнутри поверхности ).			0
Физический смысл потока через замкнутую поверхность.			0
Физический смысл потока через замкнутую поверхность.
Пусть вектор ( ) задает поле скоростей		0
движения частиц некоторого вещества, например
жидкости или газа, через замкнутую поверхность .
Обозначим через + ту часть поверхности ,
Обозначим через + ту часть поверхности ,
в точках которой вектор ( ) образует с вектором 0
острый или прямой угол (векторные линии выходят из			0
тела Ω или касаются его); через − обозначим ту часть
поверхности , в точках которой вектор ( ) образует		Рис. 4.15. Поток через
с вектором 0 тупой угол (векторные линии входят в тело Ω).		замкнутую поверхность

Тогда поток через замкнутую поверхность равен разности количества вещества, вытекающего из тела Ω и втекающего в него (рис. 4.15): П = П+ − П−.

При этом если П > 0 (П+ > П−), то через поверхность вытекает больше вещества, чем втекает. Это означает, что внутри тела Ω имеются дополнительные

источники.

Материал: Все лекции

Смотрите также: