Документ: Все лекции, страницы 111-115 | Студенческое хранилище

17

		γ

( ) = |

| = ∙|

|.

0

Частный случай формулы Стокса.

Если взять контур в плоскости ( = 0), а в качестве поверхности , натянутой на этот контур, выбрать область , ограниченную этим контуром, то из формулы Стокса получим формулу Грина:

( + ) = ( − ) .

Следовательно, формула Грина (см. п. 2.5.2) есть частный случай формулы Стокса, а формула Стокса является обобщением формулы Грина на случай пространственного контура.

4.3.3. Ротор векторного поля
Введем понятие ротора векторного поля
	( , , ) .
( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ ,	( , , ) .
Определение 4.13.

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор следующего вида:

= \|

| = (

−

) + (

−

) + (

−

) .

Пример 4.14.

Найти , где = 3∙ + 3∙ + 3∙ .

Решение.



						(3)			(3)		(3)			(3)			(3)		(3)
= \|					\| = (			−		) − (			−			) + (		−		) =
= \|					\| = (			−		) − (			−			) + (		−		) =
	3	3	3
= (0 − 0) − (3				2	2							2		2	) .
= (0 − 0) − (3					− 3		) + (0 − 0) = 3(						−		) .

Ответ: = 3( 2 − 2) .

Если ( ) = , где { , , } - радиус-вектор точки , то имеем:

= |

| = (

−

) − (

−

) + (

−

) = 0∙ − 0∙ + 0∙ = 0.

Значит, ротор радиус-вектора точки равен нулевому вектору. Замечание 4.6.

Для плоского векторного поля ( ) = ( , )∙ + ( , )∙ имеем:

= |

| = (

−

) .

(, )

(, ) 0

Используя оператор Гамильтона: =

∙ +

∙ - можно записать ротор

векторного поля в виде векторного произведения векторов:

= × .

18

Тогда функция ( ) из формулы Стокса равна скалярному произведению векторов:

( ) = 0∙ = ∙ 0,

а поверхностный интеграл 1 рода равен потоку П вектора через поверхность :

( ) = ( ∙ 0) = П.

Следовательно, теорема Стокса имеет следующую (векторную) формулировку.

Циркуляция векторного поля ( ) по замкнутому контуру равна потоку ротора этого векторного поля через любую поверхность , натянутую на контур :

	( ∙ 0)	- формула Стокса.
( ∙ ) =

Выясним связь между понятиями плотность циркуляции ( ) и ротор ( ) в данной точке.

Применяя формулу Стокса для плоского контура и теорему о среднем для поверхностного интеграла 1 рода (см. п. 3.2.2), а также непрерывность функции ( ), получим:

			( ) = (ср)∙ (D)
	( ∙ ) =		( ) = (ср)∙ (D)

		( ) =	1
		( ) =		(D)	∙ ( ∙ ) =
		{ } →		(D)
=		(ср) = ( ) = ( )∙ 0( ).
	{ } →
						и
		Учитывая, что векторы 0( )				и

| 0| = 1, получим:

( ) = | ( )| ∙ = Пр ( ) ,








Рис. 4.21. Угол между
векторами
векторами	и нормали

где - угол между векторами ( ) и (рис. 4.21).

Таким образом, плотность циркуляции в точке равна проекции ротора на вектор нормали в этой точке.

Полученная формула выражает зависимость плотности циркуляции от направления вектора . Эта зависимость выражается наличием множителя , а величина | | от вектора не зависит.

Свойства ротора.

1. Ротор направлен в сторону наибольшего значения плотности циркуляции.

Это следует из формулы: ( ) = | ( )|∙ . Наибольшее значение плотности ( ) достигается при = 0, т.е. при условии, что .

2. Модуль ротора равен наибольшему значению плотности циркуляции в данной

точке.

Действительно, имеем: {

( )} = {| ( )| ∙ } = | ( )|.

3. Дивергенция ротора равна нулю: ( ( )) = 0.

Действительно, имеем: = (

−

) + (

−

) + (

−

)

( ( )) =

(

−

) +

(

−

) +

(

−

) =

= (

2

−

2

) + (

2

−

2

) + (

2

−

2

) =

19

= (	2	−	2	) + (	2	−	2	) + (	2	−	2	) = 0 + 0 + 0 = 0.

Замечание 4.7.

Из свойств 1 и 2 следует, что не зависит от выбора системы координат, хотя в определении ротора (Определение 4.13) и присутствует система координат . Эта независимость вытекает из того, что ротор непосредственно связан с плотностью циркуляции, которая определяется без привязки к системе координат (Определение 4.12).

Физический смысл ротора.

Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси

с постоянной угловой скоростью (рис. 4.22).

Поле линейных скоростей задается формулой

(см. п. 4.2.1): = − ∙ + ∙ . Вычислим ротор

этого поля: = |

| =

0

−

0

(0)

( )

(0)

(− )

( )

(− )

= (

−

) − (

−

) + (

−

) = Рис. 4.22. Иллюстрация к

физическому смыслу ротора

= (0 − 0) − (0 − 0) + ( + ) = 2 = 2.

Таким образом, ротор поля линейных скоростей вращающегося твердого тела

одинаков во всех точках этого тела и равен удвоенной угловой скорости: = 2 . С этим физическим смыслом и связано название «ротор» («вращатель», вихрь).

Правила вычисления ротора.

Ротор векторного поля , как показано выше, равен векторному произведению векторов и : = × , где = ∙ + ∙ + ∙ - оператор Гамильтона.

Таким образом, ротор - это оператор, преобразующий одну векторную величину в другую векторную величину и определяемый равенством: = × .

Отметим следующие правила вычисления ротора.

(1)= 0 , где = .

(2)( ∙ ) = ∙ , где = .

(3)( 1 + 2) = 1 + 2.

(4)( ∙ ) = ∙ + × = ∙( × ) + × ,

где - скалярная функция,

- градиент .

Эти правила легко проверяются, если использовать формулу: = × .

Докажем, например, правило (4): ( ∙ ) = × ( ∙ ) = |

| =

∙

( ∙ )

= (

−

) − (

−

) + (

−

) =

= ∙{(

−

) − (

−

) + (

−

) } +

+ {(

∙ −

∙ ) − (

∙ −

∙ ) + (

∙ −

∙ ) } =

20




= ∙ + \|						\| = ∙ + × .
= ∙ + \|						\| = ∙ + × .

Замечание 4.8.

Правила (2) и (3) означают, что ротор - это линейный оператор.

Ротор центрального векторного поля.

Пример 4.15.

Найти ротор центрального векторного поля ( ) = ( )∙ , где { , , } –

радиус-вектор точки , = | | = √2 + 2 + 2.

Решение.

По Правилу 4 имеем:

( ( )

∙ ) = ( )∙ + ( ) × .

′

Так как = 0 и

( ) =

( )∙ (см. Пример 4.6), то получим:

( ( ) ∙ ) = ( )∙0 + ′( )∙

× = 0 +

′( )

∙( × ) = 0 +

′( )

∙0 = 0.

Ответ: ротор центрального векторного поля равен нулевому вектору: ( ( ) ∙ ) = 0.

Безвихревые векторные поля.

Определение 4.14.

Векторное поле называется безвихревым, если ротор этого поля в каждой точке равен нулевому вектору:

{ = ( ), } – безвихревое поле ( ) = 0 .

Например, центральное поле ( ) = ( )∙ - безвихревое поле, так как

( ( ) ∙ ) = 0 (см. Пример 4.15).

Другими словами, все центральные векторные поля – безвихревые поля. Еще одним примером безвихревого поля является поле градиентов: = .

Действительно, имеем:

(′)

(′ )

(′)

(′ )

= ( ) = |

| = (

−

) − (

−

) + (

−

) =

′

2

= (

−

) − (

−

) + (

−

) = 0∙ − 0∙ + 0∙ = 0.

Таким образом, получаем важное равенство: () = 0 .

Из определения ротора (Определение 4.13) вытекают условия, при которых векторное поле будет безвихревым:

	−	= 0	=


( ) = 0	−	= 0		=	( , , ) .

{

−

= 0

{

=

Для плоского векторного поля ( ) = ( , )∙ + ( , )∙

безвихревое поле

определяется условием:

−

= 0

( , ) , или:

( ) = ( , )∙ + ( , )∙ -

безвихревое поле

=

( , ) .

21

4.4. Специальные векторные поля

Рассмотрим векторные поля, обладающие некоторыми специальными свойствами.

4.4.1. Потенциальные поля

Определение 4.15.

Векторное поле { = ( ), } - называется потенциальным, если существует

такое скалярное поле = ( ), , градиент которого совпадает с вектором ( ) в любой точке области :

( ) = ( ) .

Другими словами, потенциальное поле – это поле градиентов.

Если ( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ , то потенциальность этого поля означает существование скалярной функции (потенциала) ( , , ), для которой выполняются следующие равенства:

= ( , , )

= ( , , ) ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) ( , , ) .

{ = ( , , )

Замечание 4.9.

Потенциал векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого:

если ( ) – потенциал

( ), то ( ) + ,

где = , - также потенциал.

В потенциальном поле линейный интеграл ∫

от векторного поля ( )

( )∙

̆

равен разности значений потенциала ( ) в конечной и начальной

вдоль кривой =

точке кривой (см. п. 2.6.4):

∫

(, , ) = (, , )|

= ( ) − ( ) = (

,

, )

− ( , , )

( ∙ ) = ∫

̆

Примеры потенциальных полей.

1. Поле Ньютоновского притяжения:

( ) = −

∙

= −

∙

= −

∙ ,

2

0

3

где = | | = √2

+ 2

+ 2,

{ , , } - радиус-вектор точки ,

- сила притяжения.

′

В Примере 4.6

была получена формула: ( ) =

( )∙

=

( )∙ 0.

′

( )∙ 0

= ( ). Следовательно,

Если взять =

, то получим:

=

= −

2

∙ 0

( ) - потенциальное поле с потенциалом =

.

2. Электростатическое поле точечного заряда:

( ) =

2

∙

=

2

∙ 0

=

3

∙ ,

где

= | | = √

2

+

2

+

2

,

{ , , } - радиус-вектор точки

,

– электрическая

напряженность.

Здесь ( ) = , где = − ; следовательно, ( ) - потенциальное поле

с потенциалом = − .

Замечание 4.10.

В обоих приведенных выше примерах поля являются центральными полями. Далее нам потребуется понятие односвязной области в пространстве 3.

Материал: Все лекции

Смотрите также: