Документ: Все лекции, страницы 116-120 | Студенческое хранилище

Материал: Все лекции

Смотрите также:

22

Определение 4.16.

Область 3 называется односвязной (поверхностно односвязной), если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области .

Примеры односвязных областей: все пространство 3; внутренность сферы; внутренность параллелепипеда; и т.д.

Примеры неодносвязных областей: внутренность тора; пространство 3, из которого удалена прямая; и т.д.

Рассмотрим векторное поле: ( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ , ( , , ) , где - односвязная область, а функции ( , , ), ( , , ), ( , , )

непрерывны вместе со своими частными производными 1- го порядка в области .


Пусть ( ) = ∫ ( ∙ ) = ∫ { (, , ) + (, , ) + (, , ) } -

линейный интеграл от векторного поля ( ) вдоль кривой , ;
	векторного поля ( ) вдоль замкнутого контура.
Ц = ( ∙ ) - циркуляция
Основные свойства потенциального поля.
Основные свойства потенциального поля вытекают из следующей теоремы.
Теорема 4.4.
Следующие утверждения равносильны:
( ): линейный интеграл ( ) не зависит от пути интегрирования в области .

( ): циркуляция по любому замкнутому контуру в области равна нулю: Ц = 0. (γ): поле ( ) - потенциальное поле в области .

( ): поле ( ) - безвихревое поле: ( ) = 0 .

Доказательство.

Утверждения: ( ) ( ) и ( ) (γ) – доказываются аналогично случаю потенциальной вектор-функции ( ), заданной на плоскости 2 (см. п. 2.6.1 и 2.6.2).

Утверждение (γ) ( ):		(см. п. 4.3.3).
	( ) = () = 0
Утверждение ( ) ( ):			( ∙ 0) =
	Ц = ( ∙ ) = [формула Стокса] =

(0 ∙ 0) = 0. Теорема доказана.

Таким образом, в потенциальном поле с односвязной областью циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю, а линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов в конечной и начальной точке кривой.

Кроме того, это потенциальное поле является безвихревым, т.е. ротор векторного поля в каждой точке равен нулю (нулевому вектору).

Замечание 4.11.

Для плоского векторного поля: ( ) = ( , )∙ + ( , )∙ - эта теорема идентична теореме о независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути на плоскости (см. п. 2.6.3). При этом безвихревое поле определяется условием:

Все центральные векторные поля, заданные в односвязной области - потенциальны. Это вытекает из равенства: ( ) = ( ( ) ∙ ) = 0 (см. Пример 4.15).

23

Пример 4.16.

Вычислить линейный интеграл ( ) от векторного поля = 2∙ + 2∙ + 2∙ вдоль произвольной кривой , соединяющей точки (−1; 0; 2) и (−2; 1; −1).

Решение.

Сначала докажем потенциальность этого поля. Согласно Теореме 4.4 для этого достаточно показать, что поле – безвихревое.



					(2)		(2)		(2)		(2)		(2)		(2)
= \|				\| = (		−		) − (		−		) + (		−		) =
	2	2	2

= (0 − 0) − (0 − 0) + (0 − 0) = 0. Поле - безвихревое,

Найдем потенциал этого поля:

( , , ) = 2 + 2 + 2 = 13 ( 3) + 13 ( 3) + 13

значит, оно потенциальное.

( 3) = ( 3+ 3+ 3)

3

( , , ) =

3+ 3+ 3

. Следовательно, имеем:

3

( ) = ∫̆

( , , ) = (

3+ 3+ 3

) | =

−8 + 1 − 1

−

−1+ 0 + 8

= −5.

3

Ответ: ( ) = −5.

Пример 4.17.

Найти потенциал векторного поля: ( ) = ∙ ,

где = | | = √ 2 + 2 + 2,

{ , , } - радиус-вектор точки .

Решение.

( ) - центральное поле, значит оно потенциальное. Для нахождения потенциаласоставим систему уравнений:

			= ∙
	∙

( ) = ∙( ) = ( ∙ )			= ∙ .

	∙
			= ∙
		{

Для решения этой системы выбираем одно из уравнений и проинтегрируем его по той же переменной, по которой вычисляется частная производная, например:

( , , ) = ∫

= ∫ ∙ = ∫ √ 2 + 2 + 2 ∙ =

1

∫ √

( 2 + 2 + 2) =

1

( 2 + 2 + 2)

3

+ ( , ) =

1

3 + ( , ).

=

2 + 2 + 2

2

3

Далее подставляем функцию ( , , ) =

1

3 + ( , ) во второе и третье

3

уравнения нашей системы:

=

(

1

3 + ( , )) = 2∙ ′ + ′

( , ) = 2∙

+ ′ ( , )

= ∙ + ′ ( , ) = ∙

3

′

( , ) = 0;

=

(

1

3 + ( , )) = 2∙ ′

+ ′( , ) = 2∙

+ ′( , ) = ∙ + ′( , ) = ∙

3

′

( , ) = 0;

′

( , ) = 0

1

{

( , ) = = ( , , ) =

3 + , = .

( , ) = 0

′

3

Ответ: =

1

3.

3

24

Для центральных полей ( ) = ( )∙ градиент можно искать в виде = ( ).

Учитывая, что = ′( )∙ , неизвестную функцию ( ) можно найти из дифференциального уравнения: ′( )∙1 = ( ) ′( ) = ( )∙ .

Таким образом, потенциал центрального векторного поля ( ) = ( )∙ имеет вид:

= ( ) = ∫ ( ) ∙ .

Пример 4.18.

Найти потенциалы следующих центральных векторных полей ( = ):

а) ( ) = ∙ ;

б) ( ) =

∙ ;

в) ( ) =

∙ ;

г) ( ) =

∙ .

2

3

Решение.

( ) = ∙ ( ) = ( ) = ∫ ∙ = ∫ 2 =

1

3 + =

1

3;

3

( ) =

∙ ( ) =

( ) = ∫

∙ = ∫ = + = ;

( ) =

∙ ( ) =

( ) = ∫

∙ = ∫

= ∙ + = ∙ ;

2

( ) =

∙ ( ) =

( ) = ∫

∙ = ∫

= −

+ = −

.

3

2

Ответ: а) =

1

3;

б) = ; в) = ∙ ; г) = −

.

3

Рассмотрим некоторые приложения теории потенциальных полей в электротехнике.

Задачи на вычисление потенциалов электрического поля. Задача 1.

Дан бесконечно длинный проводящий цилиндр радиуса с линейной плотностью заряда , расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью 0 (рис. 4.22).

Рис. 4.22. Иллюстрация к задаче 1

Напряженность электрического поля в точках , удаленных от оси цилиндра на расстояние ( > ), определяется равенством:


( ) =	20	∙		,

где – вектор, перпендикулярный оси цилиндра и соединяющий эту ось с точкой . Точки , , , удалены от оси цилиндра на расстояния соответственно

, , , (рис. 4.22). Требуется найти:

25

1)потенциалы точек и (приняв = 0 на поверхности цилиндра);

2)разность потенциалов между точками и ;

3)работу электрического поля по перемещению заряда по контуру [ ].

Решение.

Введем систему координат - так, как показано на рисунке 4.22: плоскостьпроведем через точку перпендикулярно оси цилиндра, а ось направим по оси цилиндра.

Тогда имеем: = + ( )

= 2∙ – плоское центральное векторное поле,

где =

; следовательно, потенциал равен

= ∙ + (см. Пример 4.18).

2 0

При = имеем: = 0, значит

∙ + = 0 = −∙ .

1) ( ) = ∙ −∙ = ∙

. Аналогично, имеем:

( ) = ∙

.

2) ∆ = ( ) − ( ) = ∙

−∙

= ∙

.

3) Так как

( ) - потенциальное поле, то работа равна разности потенциалов в

конечной и начальной точке:

(

)

(

)

= ∙ .

= ∫[ ]( ∙ ) =

−

Ответ:

1) ( ) =

∙

, ( ) =

∙

;

2) ∆ =

∙

; 3)

=

∙

.

20

Задача 2.

Дан проводящий шар радиуса , расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью 0; заряд шара равен .

Напряженность электрического поля в точках , удаленных от центра шара на расстояние ( > ), определяется равенством:

( ) = 40 2∙ ,

где – радиус - вектор, соединяющий центр шара с точкой .

Точки , , , удалены от центра

шара на расстояния соответственно

, , , (рис. 4.23). Требуется найти:

1) потенциалы точек и

(приняв = 0 в бесконечно удаленной точке);

2) разность потенциалов между точками и ;

3) работу электрического поля

по перемещению заряда по контуру [ ].

Решение.

Введем систему координат

с началом координат в центре шара (рис. 4.23).

Рис. 4.23.

Иллюстрация

к задаче 2

( ) =

3

∙

- центральное векторное поле,

где =

;

следовательно, потенциал равен

= −

+ (см. Пример 4.18).

4 0

При = ∞ имеем: = 0,

значит = 0 = −

.

1)

( ) = −

, ( ) = −

;

2) ∆ = ( ) − ( ) = (

1

−

1

);

26

3)Так как ( ) - потенциальное поле, то работа равна разности потенциалов

вконечной и начальной точках:

							(		)	(	)			1		1

												= (			− ).
	= ∫[ ]( ∙ ) =									−		= (			− ).
Ответ:
1) ( ) = −		∙	1	, ( ) = −		∙	1	;		2) ∆ =			(	1	−		1	);	3) =		(	1	−	1	).
1) ( ) = −		∙		, ( ) = −	40	∙		;		2) ∆ =		40	(		−			);	3) =	40	(		−		).
	40				40							40								40

4.4.2. Соленоидальные поля

Определение 4.17.

Векторное поле { = ( ), } - называется соленоидальным (трубчатым), если существует такое векторное поле { 0 = 0( ), }, ротор которого совпадает с вектором ( ) в любой точке области :

( ) = 0( ) .

Другими словами, соленоидальное поле – это поле роторов.

Если ( ) = ( , , )∙ + ( ,

, )∙ + ( , , )∙ , то соленоидальность этого

поля означает существование такой векторной функции (векторного потенциала)

0( , , ) = 0( , , )∙ + 0( , , )∙ + 0( , , )∙ , для которой выполняются

следующие равенства:

0

−

0

= ( , , )

0

−

0

= ( , , )

( , , ) .

{

0

−

0

= ( , , )

Например, векторное поле угловых скоростей тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси, является соленоидальным полем (см. п. 4.3.3), так как

1

= 2 , т.е. = (2

),

1

- векторное поле линейных скоростей.

где 2 - векторный потенциал, а

Основные свойства соленоидального поля.

1. Соленоидальное поле - это поле без стоков и источников (т.е. дивергенция в каждой точке равна нулю): (( )) = 0 .

Это следует из свойства ротора: (( )) = ( 0( )) = 0 (см. п. 4.3.3).

Оказывается, справедливо и обратное утверждение: если дивергенция векторного поля в каждой точке равна нулю, то это поле – соленоидальное. Доказательство этого утверждения есть в работе [1].

2. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность

равен нулю: ( ∙ 0) = 0.

Это следует из формулы Остроградского (см. п. 4.2.3):

( ∙ 0) = Ω ( ) = Ω 0 = 0.

Далее рассмотрим отрезок векторной трубки с боковой поверхностью 0 между двумя ее произвольными сечениями 1 и 2 (рис. 4.24).

3. В соленоидальном поле поток вектора через любое поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение:

Следствие 4.4.