Материал: Все лекции
Если же П < 0 (П+ < П−), то внутри тела Ω имеются стоки, поглощающие избыток вещества.
Другими словами, источники – это точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии заканчиваются.
К примеру, в электростатическом поле точечного заряда источником является положительный заряд, а стоком – отрицательный заряд (рис. 4.16).
Если П = 0, то из тела Ω вытекает столько же вещества, сколько в него и втекает; значит, внутри тела Ω либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.
12
+
−
Рис. 4.16. Источники и стоки в
электростатическом поле
Поток П = ( ∙ 0) через замкнутую поверхность иначе называют еще
производительностью (источников и стоков) векторного поля ( ) внутри пространственной области (тела) Ω.
Рассмотрим поток векторного поля ( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ ,
( , , ) через произвольную замкнутую поверхность , ограничивающую некоторое тело Ω. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.2 (Остроградского).
Пусть функции ( , , ), ( , , ), ( , , ) непрерывны в области и имеют там непрерывные частные производные , , . Пусть – произвольная кусочно-гладкая замкнутая поверхность в области . Тогда поток П векторного поля ( ) через поверхность равен тройному интегралу от функции + + по телу,
ограниченному этой поверхностью:
П = ( ∙ 0) = Ω ( + + ) - формула Остроградского.
Доказательство теоремы Остроградского можно найти в работах [1], [2].
Следствие 4.3.
Поток радиус-вектора точки ( ) через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность равен утроенному объему тела Ω, ограниченного этой поверхностью:
|
|
П = |
( ∙ 0) = 3 (Ω). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, имеем: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( ∙ 0) = |
3 = 3 (Ω). |
|
|
|
|
|
|
|||
( ) = ∙ + ∙ + ∙ |
|
+ + |
|
= 3 |
||||
|
|
|
|
|
Ω |
|||
Замечание 4.4.
В п. 3.3.3 непосредственно вычислены потоки радиус-вектора точки ( ) через замкнутые поверхности тетраэдра, сферы и цилиндра (см. Примеры 3.7, 3.8, 3.9). Если же использовать формулу Остроградского и Следствие 4.3, то можно сразу получить те же результаты:
П |
= 3 |
= 3∙ |
1 |
∙ |
1 |
= |
1 |
|
; П |
|
= 3 = 3∙ |
4 |
∙ 3 |
= 43; |
|
|
|
сферы |
|
||||||||||
тетр. |
тетр. |
3 2 |
2 |
|
шара |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пцил. = 3цил. = 3∙ 2 = 32 .
13
4.3. Основные свойства векторного поля
Основные свойства векторного поля связаны с такими понятиями, как дивергенция, циркуляция и ротор. Перейдем к рассмотрению этих понятий.
4.3.1. Дивергенция векторного поля
Пусть - замкнутая поверхность, ограничивающая тело Ω. Тогда отношение потока векторного поля ( ) через замкнутую поверхность к объему тела Ω, т.е.
величина: (1Ω)∙ ( ∙ 0) - будет средней объемной плотностью потока через
замкнутую поверхность (или средней плотностью источников и стоков, или средней производительностью источников и стоков).
Пусть – некоторая фиксированная точка, лежащая внутри тела, ограниченного поверхностью . Будем «стягивать» поверхность к точке так, чтобы эта точка находилась внутри тела, а диаметр стремился к нулю: { } → .
Определение 4.9.
Если существует конечный предел |
|
|
|
1 |
∙ |
( ∙ ) , то он называется |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
{ } → (Ω) |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке и обозначается |
( ): |
||||||||||
( ) = |
|
1 |
∙ |
|
( ∙ ) . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
{ } → (Ω) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дивергенция ( ) характеризует векторное поле в самой точке , а именно:
-если ( ) > 0, то в точке имеется источник;
-если ( ) < 0, то в точке имеется сток;
-если ( ) = 0, то в точке нет ни источника, ни стока.
Следовательно, дивергенция векторного поля ( ) в области - это скалярная функция, характеризующая распределение и производительность источников и стоков этого поля в области .
Введем обозначение: ( ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ).
Тогда из формулы Остроградского и теоремы о среднем для тройного интеграла (см. п. 1.5.3) имеем:
|
|
( ∙ 0) = |
( ) = (ср)∙(Ω) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
1 |
∙( |
)∙(Ω) = |
|
( |
) = ( ) = |
|
+ |
|
+ |
|
. |
||
|
|
|
|
||||||||||||
{ } → (Ω) |
ср |
|
|
{ } → |
ср |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В результате получаем формулу для вычисления дивергенции:
( ) = + + .
Теорему 4.2 (Остроградского) теперь можно дать в следующей формулировке.
Поток векторного поля через любую замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по телу, ограниченному этой поверхностью:
( ∙ 0) = Ω ( ) - формула Остроградского.
Правила вычисления дивергенции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя обозначение оператора Гамильтона: = |
∙ + |
|
∙ + |
∙ , можно |
||||
представить дивергенцию как скалярное произведение векторов |
|
и : |
|
|
||||
|
|
|
||||||
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ = ( |
|
∙ + |
|
∙ + |
|
∙ )∙( ∙ + ∙ + ∙ ) = |
|
+ |
|
+ |
|
= . |
|
Таким образом, дивергенция есть оператор, преобразующий векторную величину в скалярную величину и определяемый равенством:
= ∙ .
Отметим следующие правила вычисления дивергенции.
(1)= 0 , где = .
(2)( ∙ ) = ∙ , где = .
(3)( 1 + 2) = 1 + 2.
(4)( ∙ ) = ∙ + ∙ , где - скалярная функция, - градиент .
Эти правила легко выводятся из формулы: ( ) = + + .
Например, правило (4):
∙ = ∙( ∙ + ∙ + ∙ ) = ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙
( ∙ ) = ( ∙ ) + ( ∙ ) + ( ∙ ) =
=∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ∙( + + ) +
|
|
|
|
|
|
|
+ ∙ |
|
+ ∙ |
|
+ ∙ |
|
= ∙ + ∙ . |
Замечание 4.5.
Правила (2) и (3) означают, что дивергенция - это линейный оператор.
Дивергенция центрального векторного поля.
Определение 4.10.
Векторное поле вида: ( ) = ( )∙ , где { , , } - радиус-вектор точки,
= | | = √2 + 2 + 2 - называется центральным векторным полем.
Пример 4.11.
Найти ( ( ) ∙ ), где { , , } - радиус-вектор точки, = | | = √2 + 2 + 2.
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ( ∙ + ∙ + ∙ ) = 3; |
( ) = |
( )∙ |
|
(см. Пример 4.6). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||
По правилу (4) имеем: ( ( ) ∙ ) = ( )∙ + ∙ ( ) = 3 ( ) + ∙ |
( )∙ = |
|||||||||||||||||||||||||||||
= 3 ( ) + ′( )∙ |
2 |
= 3 ( ) + ∙ ′( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ( ( ) ∙ ) = 3 ( ) + ∙ ′( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 4.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найти ( |
|
∙ ), где = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Применим результат Примера 4.11, |
где ( ) = |
|
, |
′( ) = ( |
|
)′ = − |
3 |
. |
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|||||
В результате получим: ( |
|
∙ ) = 3 |
|
+ ∙(− |
3 |
) = 3 |
|
− |
3 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
3 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: ( |
|
∙ ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4.3.2. Циркуляция векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Рассмотрим криволинейный интеграл 2 рода ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( )∙ вдоль кусочно-гладкой |
||||||||||||||||||||||||||||||
15
кривой : ∫ |
|
( |
|
) |
|
|
|
{ |
|
( |
, , |
) |
+ |
( |
, , |
) |
+ |
( |
, , |
) |
} |
. |
||
|
∙ = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее этот интеграл будем называть линейным |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегралом от векторного поля ( ) вдоль кривой . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 4.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейный интеграл вдоль замкнутой кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(замкнутого контура) называется циркуляцией Ц |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
векторного поля ( ) вдоль этой кривой (рис. 4.17): |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ц = ( ∙ ) = |
|
|
∙ , или: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ц = { ( , , ) + ( , , ) + ( , , )}. |
|
|
Рис. 4.17. |
Иллюстрация к |
||||||||||||||||||||
Физический смысл циркуляции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В силовом поле циркуляция равна работе силы |
понятию циркуляции |
|
|
по перемещению материальной точки вдоль замкнутой кривой. |
|
Пример 4.13. |
|
Найти циркуляцию Ц векторного поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси вдоль произвольной замкнутой кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 4.18).
Решение.
В п. 4.2.1 показано, что векторное поле
|
|
|
линейных скоростей является плоским |
|
|
векторным полем, которое имеет вид: |
|
|
|
|
|
= −∙ + ∙ . |
|
|
Пусть - произвольная замкнутая кривая |
O |
|
|
||
|
|
|
в плоскости = (рис. 4.18). |
|
|
|
|
|
Тогда имеем: Ц = (− ∙ + ∙ ) = |
Рис. 4.18. |
Иллюстрация к |
= ∙ (− ∙ + ∙ ). |
Примеру 4.13 |
|
Учитывая, что ( − ) = 2∙( ) – площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой (см. п. 2.5.2), получим: Ц = 2∙( ).
Ответ: Ц = 2∙( ). |
|
|
Если замкнутая кривая в пространстве ограничивает |
|
|
|
||
некоторую (незамкнутую) поверхность , то говорят, что |
||
|
||
поверхность «натянута» на контур (рис. 4.19). |
|
|
В частности, если контур - плоский, то ограниченная |
||
|
||
этим контуром область также считается «натянутой» на контур. |
|
|
Предполагается, что ориентации контура и поверхности |
|
(т.е. вектора нормали ) - согласованы. Это означает, что обход контура должен быть таким, чтобы прилегающая часть поверхности оставалась слева от направления движения
по контуру (рис. 4.19). При этом движущийся по контуру объект ориентирован так, что вектор нормали пронизывает его «от ног к голове».
Ниже будет показано, что имеется непосредственная связь между циркуляцией по контуру и поверхностным интегралом по поверхности, натянутой на этот контур.
Плотность циркуляции.
Далее мы рассматриваем циркуляцию вдоль плоских замкнутых контуров.
Пусть – замкнутый контур в плоскости (с вектором нормали ), ограничивающий плоскую область (рис. 4.20). Тогда отношение циркуляции по контуру к площади области , т.е. величина:
1 |
|
|
(D)∙ |
( ∙ ) - будет средней (плоскостной) |
|
16
Рис. 4.20. Иллюстрация к
понятию плотности циркуляции
плотностью циркуляции по контуру в направлении вектора .
Выберем некоторую точку и будем «стягивать» контур к точке (т.е. точка находится внутри контура, а диаметр области стремится к нулю): { } → .
Определение 4.12.
Если существует конечный предел |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
∙ ( ∙ ), то он называется |
|||||||
|
|
|
|
{ } → (D) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
плотностью (плоскостной) циркуляции в точке в направлении вектора |
|||||||||
обозначается ( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ ( ∙ ). |
|
|
||||
|
{ } → (D) |
|
|
|
|
||||
Рассмотрим векторное поле: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( , , ) . |
|
( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ , |
|
||||||||
Пусть - замкнутый контур и |
- произвольная поверхность, натянутая |
||||||||
на этот контур. Справедливо следующее утверждение. |
|
|
|||||||
Теорема 4.3 (Стокса). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функции ( , , ), ( , , ), |
( , , ) непрерывны вместе со своими |
||||||||
частными производными 1-го порядка в области .
Тогда для любого замкнутого контура и для любой поверхности , натянутой на контур , справедлива следующая формула Стокса, связывающая циркуляцию векторного поля ( ) по контуру с поверхностным интегралом 2-го рода по поверхности :
( + + ) = {( − ) + ( − ) + ( − ) } .
Доказательство теоремы Стокса приведено в работах [1], [2].
Учитывая связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода, формулу Стокса можно записать в следующем виде:
( + + ) = {( − ) ∙ + ( − ) ∙ + ( − ) ∙ γ} ,
где , , γ - направляющие углы единичного вектора нормали 0( ) в точке , а интеграл в правой части равенства есть поверхностный интеграл 1 рода.
Введем обозначение: ( ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) γ.
Тогда формула Стокса запишется в виде: Ц = |
|
( ) . |
( ∙ ) = |
Символически функцию ( ) можно представить в виде определителя 3-го порядка, или в виде скалярного произведения векторов: