Материал: Все лекции

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Следовательно, существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения области , ни от выбора промежуточных точек:

=					=	∑	∙∆ .
				λ → 0	λ → 0	=1


	Выберем удобное для нас разбиение
области и набор промежуточных точек.
	Разобьем квадрат вертикальными и
горизонтальными прямыми:
=		,	=	, , = 1, … , на = 2
=		,	=	, , = 1, … , на = 2

− 1

…			…
…			…
2


1


1	2	3		− 1
1	2	3	…	− 1	1
			…		1

Рис. 1.3. Область интегрирования

в Примере 1.2

равных квадратных ячеек со сторонами

(рис. 1.3).

Площади ∆ и диаметры этих ячеек имеют следующие значения:

= 1, … , 2.

∆ =

∙√2 ,

В каждой ячейке выберем в качестве промежуточной точки одну из вершин,

например, в правом верхнем углу:

≡

(

) (рис. 1.4).

Вычислим интегральную сумму:

= ∑

( )∙∆

∑

( )∙

, =1

∑

∙

∑

(∑

∙

) =

, =1

∑

∙(∑

) =

(∑

)∙(∑

) =

(

∑

)∙(

∑

) =

(1 + 2 + … + )2 =

− 1

1 +

(1 + )2

(

∙ ) =

− 1

, значит:

Здесь ранг разбиения λ = ∙√2

λ → 0 → ∞. Следовательно:

Рис. 1.4. Выбор

(1 + )2

промежуточных точек

λ → 0

→∞

Ответ:

1.2. Свойства двойного интеграла

Исходя из определения двойного интеграла:

( ) =

∑

( )∆

, или

λ → 0

( , ) =

∑

( ,

)∆ ,

λ → 0

выведем основные его свойства.

1.2.1. Свойства, выраженные равенствами 1. Нормированность.

Двойной интеграл от единицы по заданной области равен площади этой области:

= ( ) или: = ( )

2. Линейность.

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по области . Тогда

а) постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

∙ ( ) = ∙ ( ) , = ;

б) двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций:

( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) .

Свойство линейности можно записать и в следующем виде:

	(1	∙ ( ) + 2	∙ ( )) = 1∙	( ) + 2∙	( )	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Пусть функция ( ) интегрируема по области .

Если область интегрирования разбита на две области, то двойной интеграл по всей области равен сумме двойных интегралов по каждой из этих областей:

( ) = 1 ( ) + 2 ( ) ,

где = 1 2, 1 ∩ 2 = (или это пересечение состоит из конечного числа кривых).

Доказательство.

1. Нормированность.

= ∑ =1 1∙∆ = ∑ =1 ∆ = ( ) = ( ).

λ → 0

2. Линейность.

а) ∙ ( ) =

∑

∙( )∆

= ∙∑

( )∆

λ → 0

= ∙

∑

( )∆

= ∙

( ) .

λ → 0

б)

( ( ) + ( )) =

∑

( ( )

+ ( )) ∙ ∆ =

λ → 0

∑

( )∙∆ +

∑

( )∙∆

( ) +

( ) .

λ → 0

При этом установлено, что из интегрируемости функции ( ) следует интегрируемость функции ∙( ), где = , а из интегрируемости функций ( ) и ( ) следует интегрируемость функции ( ) + ( ).

3. Аддитивность.

Рассмотрим такое разбиение области на частичные области, чтобы линия пересечения 1 и 2 оказалась бы одной из линий разбиения области . Введем обозначения интегральных сумм Римана:

( ) = ∑		( )∙∆			- по области ;
=1
(1)( ) =	∑		( )∙∆ - по области ;
1		=1				1
(2)( ) =	∑			(	)∙∆	- по области .
2		= +1				2

Тогда имеем:

( ) = (1)(1) + (2)(2).

Переходя к пределу в этом равенстве при λ → 0, получим:

( ) = 1 ( ) + 2 ( ) .

1.2.2. Свойства, выраженные неравенствами

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по области .

1. Интегрирование неравенств.

Если ( ) ≥ ( ) ,			то и		( ) ≥		( ) .
Доказательство.
( ) ≥ ( ) ( )∙∆				≥ ( )∙∆		(т.к. ∆ > 0)

	∑	( )∙∆	≥ ∑		( )∙∆
	=1			=1

для любого разбиения области и любого выбора промежуточных точек { }=1. Переходя к пределу в последнем неравенстве при λ → 0, получим:

	∑	( )∙∆		≥	∑		( )∙∆			( ) ≥	( ).
λ → 0	=1			λ → 0	=1


Следствие 1.3.		Если ( ) ≥ 0			, то и				( ) ≥ 0.
Действительно:				( ) ≥ 0 = 0.
Следствие 1.4.		Пусть ( ) ≥ 0			; тогда для любых областей 1, 2
справедливо утверждение:
		1	2			( ) ≤			( )
					1			2

(т.е. с расширением области интегрирования двойной интеграл возрастает).

Действительно: 2 = 1 (2\1); 2\ 1 ( ) ≥ 0

2 ( ) = 1 ( ) + 2\ 1 ( ) ≥ 1 ( ) . Следствие 1.5. | ( ) | ≤ |( )|.

Действительно: −|( )| ≤ ( ) ≤ |( )| − |( )| ≤ ( ) ≤ |( )| | ( ) | ≤ |( )|.

2. Оценки двойного интеграла.

Если значения подынтегральной функции ( ) в области ограничены величинами и , то значение двойного интеграла ограничено величинами∙( ) и ∙( ), где ( ) - площадь области :

≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ).

Действительно:

( ) ≥ ∙ = ∙ = ∙( );

( ) ≤ ∙ = ∙ = ∙( ).

Пример 1.3.

Оценить значение двойного интеграла:

=	1	, где
	100 + 2 + 2

= { ( , ) 2: | | + | | ≤ 10}.

Решение.

Область - квадрат со стороной 10√2

								2		Рис. 1.5. Область
(рис. 1.5) ( ) = (10√2)									= 200.
										интегрирования в Примере 1.3
	1		1				1
		≤				≤			( , )
102			100 + 2 + 2
						100
	1	∙200 ≤ ≤		1	∙200	1,96 ≤ ≤ 2.
102
			100

Ответ: 1,96 ≤ ≤ 2.

1.2.3. Теоремы о среднем значении

Следствием доказанных свойств, выраженных равенствами и неравенствами, являются так называемые «теоремы о среднем».

Теорема 1.5.

Пусть функция ( ) интегрируема по области ;

= { ( ), }; = { ( ), }. Тогда [ ; ]:

( ) = ∙( ).

Доказательство.

Согласно оценкам двойного интеграла имеем:

∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ (1 )∙ ( ) ≤ .

Введем обозначение: = (1 )∙ ( ) ; тогда получим: ( ) = ∙( ),

причем ≤ ≤ . Теорема доказана.

Теорема 1.6.

Пусть функция ( ) непрерывна в области . Тогда 0 :

( ) = (0)∙( ).

Доказательство.

Согласно теоремам Вейерштрасса и Больцано-Коши ([4], . . ) функция, непрерывная в ограниченной замкнутой и связной области, принимает все промежуточные значения между наибольшим и наименьшим значениями функции.

По Теореме 1.5 имеем: ( ) = ∙( ), где [ ; ], причемнаименьшее значение, а − наибольшее значение функции ( ) в области .

Следовательно, 0 : (0) = . Тогда получаем:

( ) = ∙( ) = (0)∙( ).

Теорема доказана.

Число = (1 )∙ ( ) - называется интегральным средним значением

функции ( ) в области .

1.3. Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла ( , ) начинается с выяснения вида области . Мы будем различать области «правильные» и «неправильные».

1.3.1. Правильные области

Определение 1.3.

Криволинейная трапеция, ограниченная графиками функций = 1( ), = 2( ) (1( ) ≤ 2( ) [ ; ]) и прямыми = , = , называется областью, правильной в направлении оси .

Такие области характеризуются тем, что любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис. 1.6).

Определение 1.4.

Криволинейная трапеция, ограниченная графиками функций = 1( ), = 2( ) (1( ) ≤ 2( ) [ ; ]) и прямыми = , = , называется областью, правильной

в направлении оси .

Такие области характеризуются тем, что любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис. 1.7).

Y				Y
Y	= 2	( )
	= 2	( )

			= 1( )

	= 1( )				= 2( )
					= 2( )


			X
					X
Рис. 1.6. Область, правильная
	в направлении оси			Рис. 1.7. Область, правильная
				в направлении оси

Область может быть правильной и в направлении оси и в направлении оси .

Если область не является правильной ни в каком направлении, то такую область будем
называть неправильной.
Неправильную область, как правило,
Неправильную область, как правило,
можно разбить на части так, что каждая		3
из частей уже будет правильной в каком-либо	1	4
направлении. Например, кольцо на рисунке 1.8	1	4
направлении. Например, кольцо на рисунке 1.8
- неправильная область, но ее можно разбить		2
на 4 части так, что каждая из них уже будет		2
на 4 части так, что каждая из них уже будет
правильной в направлении оси .
Для правильных областей вычисление
двойного интеграла сводится к вычислению	Рис. 1.8. Разбиение неправильной
двойного интеграла сводится к вычислению	области на правильные
так называемых повторных интегралов,	области на правильные
так называемых повторных интегралов,
т.е. двух обычных (определенных) интегралов, взятых в определенном порядке.

1.3.2. Повторные интегралы

Пусть функция ( , ) интегрируема по области , где - правильная область в направлении оси , т.е. = { ( , ): 1( ) ≤ ≤ 2( ), [ ; ]}.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.7.

Если при любом фиксированном [ ; ] существует определенный интеграл

∫ 2( )	( , ) , то существует и повторный интеграл				∫	(∫ 2( )	( , ) ) , который
1( )						1( )
равен двойному интегралу:

		( , ) = ∫	(∫ 2( )	( , ) )				.
			1( )

Доказательство.

Доказательство теоремы проведем для случая, когда функция ( , ) непрерывна в области . Тогда, как известно, двойной и повторный интеграл существуют; в этом случае надо доказать лишь их равенство.

Смотрите также:

+++P-5-2014_мед ПК и ПО подростков
12. Dignity
1284
14.Сердечно-сосудистая система
156
1949
2489
273
3796
5275