Материал: Все лекции
32
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
Содержимое трех из оставшихся ячеек известно:
|
( ) = 0, |
( ) = 0, |
( ) = ∆. |
||||||
Таким образом, остаются лишь 2 неизвестные величины: |
|||||||||
( ) и |
( ), |
|
|
и ( ). |
|||||
или: ( ) |
|||||||||
Составим новую таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( ) |
|
Результаты операций ( ) и ( ) уже не представляют собой простых выражений, как другие операции, поэтому общую формулу для них не приводим. Однако можно показать, что эти результаты связаны между собой следующей формулой:
( ) − ( ) = ∆ .
Здесь выражение ∆ для векторного поля означает то же самое, что и ∆ для скалярного поля , а именно:
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
∆ = |
|
+ |
|
+ |
|
|
- оператор Лапласа для векторного поля . |
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ , |
то ∆ = ∆∙ + ∆∙ + ∆∙ . |
|||||||||
Правила вычисления оператора Лапласа. |
|
|||||||||
(1) |
|
|
|
|
|
|
||||
∆ = 0 , где = . |
|
|||||||||
(2) |
∆ ( ∙ ) = ∙∆, |
где |
|
|
|
|||||
= . |
|
|||||||||
(3)∆ ( ∙ ) = ∙∆, где = .
(4)∆ ( 1 + 2) = ∆ 1 + ∆ 2.
(5) |
|
|
∆ () = (∆), |
∆ ( ) = (∆). |
∆ () = (∆ ), |
||||
Замечание 4.13.
Правила (3) и (4) означают, что оператор Лапласа – это линейный оператор, преобразующий одну векторную величину в другую векторную величину.
Правило (5) означает, что оператор Лапласа перестановочен с операторами градиента, дивергенции и ротора.
Справедливость этих равенств легко можно доказать, используя определение ∆.